1. Monotonie von Zahlenfolgen
    1. Begriffsdefinition
      Man unterscheidet zunächst ganz allgemein wachsende und fallende Zahlenfolgen. Sonderfälle sind konstante und alternierende Zahlenfolgen.

      Von einer monoton wachsenden Zahlenfolge spricht man, wenn die Glieder der Folge mit wachsendem n immer größer werden. Verhält sich eine Folge umgekehrt, sodass die Zahlenfolgeglieder mit wachsendem n kleiner werden, ist die Folge monoton fallend. Haben die Glieder der Zahlenfolge immer denselben Wert, ist die Folge konstant. Alternierende Zahlenfolgen sind nicht monoton, da sie stets das Vorzeichen ändern.

      ⇒ Definition Monotonie
      Eine Zahlenfolge (an) heißt genau dann
      monoton wachsend, monoton fallend,
      wenn für alle natürlichen Zahlen n≥1 gilt:
      a
      n  +  1
      		 − 
      a n
      		   >   0
      a
      n  +  1
      		 − 
      a n
      		   <   0
       
      Beispiele monotoner Zahlenfolgen
      Beispiel 1 Beispiel 2
      n ⇒
      a n
      		  = 
      ( n  −  5 )
      		2
      		  −  5
      		In der Tabelle sind die ersten sieben Glieder der Zahlenfolge berechnet. Es zeigt sich, dass die Folge bis a5 monoton fällt. Danach verhält sie sich monoton wachsend. Das ändert sich auch nicht mehr, wie man durch Eingabe einer anderen Zahl für n überprüfen kann.
      In der Abbildung wird dieses Verhalten veranschaulicht.       		monotone Zahlenfolge n ⇒
      a n
      		  = 
      2
      4  −  n
      		Auch für diese Folge sind die ersten sieben Glieder der Zahlenfolge berechnet. Die Glieder der Zahlenfolge werden immer kleiner. Die Zahlenfolge ist demnach streng monoton fallend, da sich das Verhalten der Folge für alle n∈N nicht ändert. Berechnet man weitere Glieder der Zahlenfolge stellt man allerdings auch fest, dass an nicht kleiner als Null wird.
      In der Abbildung wird dieses Verhalten veranschaulicht.       		monotone Zahlenfolge
      1 ⇒ 11 1 ⇒ 8
      2 ⇒ 4 2 ⇒ 4
      3 ⇒ -1 3 ⇒ 2
      4 ⇒ -4 4 ⇒ 1
      5 ⇒ -5 5 ⇒
      1
      2
      6 ⇒ -4 6 ⇒
      1
      4
      7 ⇒ -1 7 ⇒
      1
      8
       
      		⇒
       
      		⇒

      Zahlenfolge, die ihre Monotonie im gesamten Definitionsbereich nicht ändern, nennt man streng monoton. Beispiel 2 zeigt eine solche Folge.

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    2. Nachweis der Monotonie
      Der rechnerische Nachweis der Montonie von Zahlenfolgen erfolgt durch unmittelbares Anwenden der Definition. Das bedeutet, dass man die Zahlenfolgenglieder an+1 und an bildet und deren Differenz berechnet. Der Term, der am Ende entsteht, soll dann zeigen, ob die Differenz größer oder kleiner als Null ist. Dazu sehen wir uns die beiden Beispiele aus der ersten Abschnitt an.
      Beispiel 1
      a n
      		  = 
      ( n  −  5 )
      		2
      		  −  5
      		Beispiel 2
      a n
      		  = 
      2
      4  −  n
      Bilde an+1
      a
      n  +  1
      		 = 
      [
      ( n  +  1 )
      		 −  5 ]
      		2
      		  −  5  = 
      ( n  −  4 )
      		2
      		  −  5
      		Bilde an+1
      a
      n  +  1
      		 = 
      2
      4  − 
      ( n  +  1 )
      		 = 
      2
      4  −  n  −  1
      		 = 
      2
      3  −  n
      Berechne an+1-an
      ( n  −  4 )
      		2
      		  −  5  − 
      [
      ( n  −  5 )
      		2
      		  −  5 ]
      =
      ( n  −  4 )
      		2
      		  −  5  − 
      ( n  −  5 )
      		2
      		  +  5
      =n 2
      		  −  8n  +  16  − 
      (
      n 2
      		  −  10n  +  25 )
      =n 2
      		  −  8n  +  16  − 
      n 2
      		  +  10n  −  25
      =2n  −  9
      		Berechne an+1-an
      2
      3  −  n
      		 − 
      2
      4  −  n
      =
      2 3
      2 n
      		  − 
      2 4
      2 n
      =
      8  −  16
      2 n
      =  − 
      4
      2 n
      Das führt zu folgender Fallunterscheidung.
      1. Fall:   2. Fall:
      2n - 9 < 0 2n - 9 > 0
      2n < 9 2n > 9
      n < 4,5 n > 4,5
      ⇒   n<5   fallend
      ⇒   n>5   steigend
      		Das Ergebnis ist eindeutig, da der berechnete Term für alle natürlichen Zahlen kleiner als Null ist.
      ⇒   für   alle   n  ∈  N*   fallend
      Das Hauptproblem bei diesen Berechnungen ist die sichere Beherrschung der Termumformungen und Potenzgesetze. Ohne dieses Handwerkszeug hat man es ziemlich schwer. Die Beispielaufgabe zur Lektion geben einen Eindruck vom Rechenaufwand, der beim Monotonienachweis entsteht.  
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