Die hier gerechneten Beispiele stellen eine Auswahl häufig vorkommender Aufgaben dar. Deshalb erhebe ich auch keinen Vollständigkeitsanspruch. Sollte also ein Problem auftauchen, dass anhand dieser Beispiel nicht gelöst werden kann, dann einfach mal per Kontaktformular melden. Für Hinweise bin ich dankbar und erweitere diese Aufgabensammlung gern.

  1. Beispiel: Bestimmen einer Bildungsvorschrift
    Gegeben ist folgende Zahlenfolgen.
    (
    a n
    		 )
    		 =  {2;
    3
    4
    		;  
    4
    9
    		;  
    5
    16
    		;  
    6
    25
    		;  
    7
    36
    		;   ...}
    (
    b n
    		 )
    		 =  {0;  −  2;  −  4;  −  6;...}
    (
    c n
    		 )
    		 =  {1;  
    1
    2
    		;  
    1
    3
    		;  
    1
    4
    		;...}
    (
    d n
    		 )
    		 =  {  −  7;  −  3;   1;   5;...}
    Geben Sie eine Bildungsvorschrift für diese Zahlenfolge an!
    Lösung:

    Die Suche nach einer Bildungsvorschrift sollte man immer damit beginnen, dass untersucht wird, ob die Folge arithmetisch oder geometrisch sein könnte. Denn wenn das der Fall ist, erleichtert uns die Lösung der Aufgabenstellung sehr. Fangen wir mit der Zahlenfolge (an) an.
    Betrachtet man die einzelnen Glieder der Zahlenfolge, merkt man schnell, dass (an) nicht arithmetisch sein kann, da der Abstand benachbarter Glieder der Folge immer kleiner wird. Diese Möglichkeit scheidet also aus.
    Die Möglichkeit einer geometrischen Folge können wir rechnerisch überprüfen, indem wir zwei Quotienten benachbarten Glieder bilden und vergleichen. Zum Beispiel:

    q 1
    		  = 
    a 2
    a 1
    		 = 
    3
    4
    2
    		  = 
    3
    8
    q 2
    		  = 
    a 3
    a 2
    		 = 
    5
    16
    3
    4
    		 = 
    16
    27
    Es gilt: q1≠q2. Also die Folge (an) auch nicht geometrisch.
    Um die Aufgabe zu lösen, muss einen Zusammenhang zwischen der Nummer des Zahlenfolgeglieds nund dem Zahlenfolgeglied an gefunden werden. Als erstes fällt vielleicht auf, dass alle Glieder der Folge Brüche sind, außer a1. Aber natürlich gilt:
    a 1
    		  =  2  = 
    2
    1

    In der Tabelle werden die Zähler und Nenner der Zahlenfolgeglieder aus ihren Nummern der Glieder berechnet.

    n Zähler Nenner
    1
    1  +  1  =  2
    1 2
    		  =  1
    2
    2  +  1  =  3
    2 2
    		  =  4
    3
    3  +  1  =  4
    3 2
    		  =  9
    4
    4  +  1  =  5
    4 2
    		  =  16
    5
    5  +  1  =  6
    5 2
    		  =  25
    6
    6  +  1  =  7
    6 2
    		  =  36

    Nun versuche ich weitere Glieder der Zahlenfolge selbst zu finden. Der Zähler ist offenbar immer um 1 größer als n. Also erhält man für n=7 den Zähler die 8. Der Nenner ergibt sich aus dem Quadrat von n. Der nächste Nenner ist also 49. Aus diesen Überlegungen erhalten wir

    a 7
    		  = 
    8
    49
    		   und  
    a 8
    		  = 
    9
    64

    Nun verallgemeinern wir unsere Erkenntnisse zur Bildungsvorschrift:

    • Der Zähler ist immer der Nachfolger von n, also n+1.
    • Der Nenner ist immer das Quadrat von n, also n2.

    Demzufolge gilt: 

    (
    a n
    		 )
    		 = 
    n  +  1
    n 2
    Das Ergebnis ist eine explizite Bildungsvorschrift. Zur Kontrolle kann man ein beliebiges Glieder der Zahlenfolge berechnen und überprüfen, ob die angewendeten Kriterien stimmen. Der Zähler muss also stets der Nachfolge von n und der Nenner das n2 sein.
    n = (mit 0<n<99)

    Damit kommen wir zur Zahlenfolge bn. Hier erkennt man sicher sofort, dass sich benachbarte Glieder der Folge jeweils um den Summanden (-2) unterscheiden. Die Folge ist also arithmetisch. Deshalb lässt sich sofort eine rekursive Bildungsvorschrift erstellen.

    (
    b
    n  +  1
    		)
    		 = 
    b n
    		  −  2,  
    b 1
    		  =  0
    Davon ausgehend ergibt sich auch die explzite Bildungsvorschrift.
    (
    b n
    		 )
    		 = 
    b 1
    		  + 
    ( n  −  1 )
    		 ·  d  =  0  + 
    ( n  −  1 )
    		 · 
    (  −  2 )
    (
    b n
    		 )
    		 =   −  2n  +  2

    Die Zahlenfolge cn erfordert wieder etwas mehr Überlegung. Dass die Folge nicht arithmetisch ist aber hoffentlich sofort zu erkennen. Auf dan Nachweis wird verzichte ich deshalb. Auch geometrische Zahlenfolge kommen hier nicht in Frage. Der Nachweis ist schnell erbracht, denn es gilt:

    q 1
    		  = 
    c 2
    c 1
    		 = 
    1
    2
    1
    		  = 
    1
    2
    q 2
    		  = 
    c 3
    c 2
    		 = 
    1
    3
    1
    2
    		 = 
    2
    3
    q 1
    		  ≠ 
    q 2
    Aus diesem Grund wenden wir wieder das Verfahren aus Aufgabe (a) an, um einen Zusammenhang zwischen n und cn zu finden.
    n Zähler Nenner
    1 1 1
    2 1 2
    3 1 3
    4 1 4
    Daraus folgt, dass der Zähler stets 1 ist, während der Nenner der Nummer des Zahlenfolgeglieds entspricht. Das führt zu der folgenden Bildungsvorschrift.
    (
    c n
    		   )
    		 = 
    1
    n

    Die Untersuchung der Glieder der Zahlenfolge dn zeigt, dass sich benachbarte Glieder jeweils um den Summanden s=4 unterscheiden. Es gilt:

    s  = 
    d 2
    		  − 
    d 1
    		  = 
    d 3
    		  − 
    d 2
    		  = 
    d 4
    		  − 
    d 3
    		  =  4
    Daraus folgt zunächst die rekursive Bildungsvorschrift.
    (
    d
    n  +  1
    		  )
    		 = 
    d n
    		  +  4;  
    d 1
    		  =   −  7
    Daraus können wir die explizite Bildungsvorschrift ableiten.
    (
    d n
    		 )
    		 = 
    d 1
    		  + 
    ( n  −  1 )
    		 ·  s  =   −  7  + 
    ( n  −  1 )
    		 ·  4  =   −  7  +  4n  −  4
    (
    d n
    		 )
    		 =  4n  −  11

  2. Beispiel: Rekursive und explizite Bildungsvorschriften
    Ermitteln Sie für die nachstehenden Folgen die ersten fünf Glieder, und geben Sie möglichst eine explizite Bildungsvorschrift an.
    a 1
    		  =  2   ;  
    a
    n  +  1
    		 = 
    a n
    		  + 
    1
    3
    b 1
    		  = 
    3
    2
    		   ;  
    b
    n  +  1
    		 = 
    4
    3
    		  
    b n
    Lösung:
    Die Folge (an) ist arithmetisch. Daraus ergibt sich folgende Rechnung.
    a 2
    		  = 
    a 1
    		  + 
    1
    3
    		  =  2  + 
    2
    3
    		  = 
    7
    3
    a 3
    		  = 
    a 2
    		  + 
    1
    3
    		  = 
    7
    3
    		  + 
    1
    3
    		  = 
    8
    3
    a 4
    		  = 
    a 3
    		  + 
    1
    3
    		  = 
    8
    3
    		  + 
    1
    3
    		  =  3
    a 5
    		  = 
    a 4
    		  + 
    1
    3
    		  =  3  + 
    1
    3
    		  = 
    10
    3
    (
    a n
    		   )
    		 =  {2;  
    7
    3
    		   ;  
    8
    3
    		   ;   3;  
    10
    3
    		   ;   ...}
    Die explizite Bildungsvorschrift ergibt sich dann durch folgende Rechnung.
    a n
    		  = 
    a 1
    		  + 
    ( n  −  1 )
    		 ·  d  =  2  + 
    ( n  −  1 )
    		 · 
    1
    3
    (
    a n
    		   )
    		 = 
    1
    3
    		   n  + 
    5
    3
    (bn) ist eine geometrische Zahlenfolge. Das führt zu folgender Rechnung.
    b 2
    		  = 
    4
    3
    		  · 
    b 1
    		  = 
    4
    3
    		  · 
    3
    2
    		  =  2
    b 3
    		  = 
    4
    3
    		  · 
    b 2
    		  = 
    4
    3
    		  ·  2  = 
    8
    3
    		   ≈2,67
    b 4
    		  = 
    4
    3
    		  · 
    b 3
    		  = 
    4
    3
    		  · 
    8
    3
    		  = 
    24
    9
    		   ≈3,56
    b 5
    		  = 
    4
    3
    		  · 
    b 4
    		  = 
    4
    3
    		  · 
    24
    9
    		  = 
    96
    27
    		   ≈4,74
    (
    b n
    		   )
    		 =  {  
    3
    2
    		   ;   2;  
    8
    3
    		   ;  
    24
    9
    		   ;  
    96
    27
    		   ;...}
    Die explizite Bildungsvorschrift ergibt sich dann durch folgende Rechnung.
    b n
    		  = 
    a 1
    		 · 
    q
    n  −  1
    		 = 
    3
    2
    		 · 
    4
    3
    n  −  1
    Durch Anwenden der Potenzgesetze erhät man
    (
    b n
    		   )
    		 = 
    9
    8
    		  · 
    (
    4
    3
    		 )
    		n
  3. Beispiel: Arithmetische Zahlenfolgen

    Von einer arithmetischen Zahlenfolge sind gegeben: a2 = 4 und a6 = 16. Geben Sie die rekursive und explizite Bildungsvorschrift der Zahlenfolge an!

    Lösung:

    Wenn die Zahlenfolge arithmetisch ist, müssen sich aufeinanderfolgende Glieder durch einen konstanten Summanden d unterscheiden. Deshalb bilde ich mit Hilfe der rekursiven Bildungsvorschrift Gleichungen für die Glieder a3 bis a6, wobei ich diese Gleichungen immer wieder ineinander einsetze.

    a 3
    		  = 
    a 2
    		  +  d
    a 4
    		  = 
    a 3
    		  +  d  = 
    a 2
    		  +  2d
    a 5
    		  = 
    a 4
    		  +  d  = 
    a 3
    		  +  2d  = 
    a 2
    		  +  3d
    a 6
    		  = 
    a 5
    		  +  d  = 
    a 4
    		  +  2d  = 
    a 3
    		  +  3d  = 
    a 2
    		  +  4d

    Die letzte Gleichung, die so ensteht, enthält als einzige unbekannte Größe nur noch d. Diese Gleichung wird nach d umgestellt.

    d  = 
    a 6
    		  − 
    a 2
    4
    		  =  3

    Nun muss noch a1 berechnet werden. Da a2 = a1 + d, gilt: a1 = a2 - d. Also a1 = 1

    Durch Einsetzen in die allgemeine rekursive Bildungsvorschrift erhalte ich:

    a
    n  +  1
    		 = 
    a n
    		  + 
    3;a 1
    		  =  1

    Durch Einsetzen in die allgemeine explizite Bildungsvorschrift und zusammenfassen der enstehenden Gleichung erhalte ich:

    a n
    		  =  3n  −  2
  4. Beispiel: Geomemtrische Zahlenfolgen
    Bestimmen Sie die Folgeglieder a5 und a15 der nachfolgend gekennzeichneten geometrischen Zahlenfolge und geben Sie eine explizite Bildungsvorschrift an!
    a 2
    		  =  5;  
    a 4
    		  =  45;   q>0
    Lösung:

    Als erstes gilt es, den Faktor q der geometrischen Zahlenfolge zu ermittel. Dabei gehe ich analog zur Aufgabe (2) vor, nur dass ich keine Summen sondern Produkte bilden muss:
    a3 = a2 ⋅ q
    a4 = a3 ⋅ q = a2 ⋅ q2
    Die letzte Gleichung muss nach q umgestellt werden:

    q  = 
    √
    a 4
    a 2
    		 = 
    √
    45
    9
    		 = 
    √
    9
    		 =  3

    Jetzt ist die Berechnung von a1 nicht mehr schwer, denn es gilt:

    a 1
    		  = 
    a 2
    q
    		  = 
    5
    3

    Nun kann die explizite Bildungsvorschrift aufgeschrieben und zusammengefasst werden:

    a n
    		  = 
    5
    3
    		  · 
    3
    n  −  1
    		 =  5  · 
    3
    n  −  2

    Der letzte Schritt besteht in der Berechnung der gesuchten Zahlenfolgeglieder:

    a 5
    		  =  5  · 
    3 3
    		  =  135
    a 15
    		  =  5  · 
    3 13
    		  =  7971615
  5. Beispiel: Anwendung geomemtrischer Zahlenfolgen

    Herr Adam zahlt 5000€ auf sein Sparbuch ein. Auf wieviel Euro hat sich sein Guthaben nach 12 Jahren erhöht, wenn ihm von der Bank 4,5 % Jahreszinsen gewährt werden und er die Zinsen nicht abhebt?

    Lösung:

    Die Zinseszinsrechnung ist eine der wichtigsten Anwendungen für geometrische Zahlenfolgen. Abgesehen davon, dass in jedem Tafelwerk eine Formel für die Lösung dieser Aufgabe steht, wollen wir die Aufgabe ausnahmsweise ohne dieses Hilfsmittel lösen.

    Bezogen auf die allgemeine explizite Bildungsvorschrift für geometrische Zahlenfolgen brauchen wir das Anfangsglied a1 und den Faktor q. Herr Adam startet mit einem Anfangskapital von 5000€. Diese Zahl nehmen wir für a1. Diese Zahl stellt praktisch 100% dar.
    Nach einem Jahr erhält Herr Adam 4,5 % Zinsen. Sein Kapital nach dem ersten Jahr beträgt also 104,5% des Ausgangskapitals. Da wir mit Prozentsätzen nicht arbeiten können, dividieren wir diese Zahl durch 100, um eine Dezimalzahl zu erhalten. Damit häten wir auch q = 1,045.

    Damit ergibt sich als Bildungsvorschrift:

    K n
    		  =  5000  · 
    1,045
    n  −  1
    n: Anzahl der Jahre
    Kn: Kapital nach n Jahren

    Da das Kapital nach 12 Jahren gesucht ist, setzen wir in die gefundene Gleichung ein und erhalten das Ergebnis.

    K 12
    		  =  8479,11€
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