• Bilden des Nachfolgers a_n+1

  a n  +  1

  =

  3 ( n  +  1 )  −  1 ( n  +  1 ) 2

  =

  3n  +  2 n 2  +  2n  +  1

  
  
  
• Anwenden des Monotoniekriteriums

  a n  +  1

  −

  a n

  =

  3n  +  2 n 2  +  2n  +  1

  −

  3n  −  1 n 2

  
  
  
• Zusammenfassen der Terms (Hauptnenner bilden)

  Der Hauptnenner der Zahlenfolgenglieder lautet (n²+2n+1)⋅n². Demzufolge muss der erste Bruch mit n² erweitert werden. Der zweite Term wird mit (n²+2n+1) erweitert.

  a n  +  1  −  a n  =  ( 3n  +  2 )  ·  n 2  −  ( 3n  −  1 )  ·  ( n 2  +  2n  +  1 ) ( n 2  +  2n  +  1 )  ·  n 2

  a n  +  1  −  a n  =  ( 3n 3  +  2n 2 )  −  ( 3n 3  +  6n 2  +  3n  −  n 2  −  2n  −  1 ) n 4  +  2n 3  +  2n 2

  a n  +  1  −  a n  =   −  3n 2  −  n  +  1 n 4  +  2n 3  +  2n 2  =   −  3n 2  +  n  −  1 n 4  +  2n 3  +  2n 2

  a n  +  1  −  a n  =   −  3n 2  +  n  −  1 n 4  +  2n 3  +  2n 2

  Für den Nenner gilt für den gesamten Definitionsbereich: n⁴+2n³+n² > 0
  Für den Zähler gilt für den gesamten Definitionsbereich: -(3n²+n-1) < 0

  Ergebnis: Für alle n∈N gilt: a_n+1 - a_n < 0. Die Zahlenfolge ist streng monoton fallend.

  Die folgende grafische Darstellung der Zahlenfolge verdeutlicht diese Ergebnis anschaulich.

  Hinweis zu den Termunformungen: Hier werden die binomischen Formeln benötigt.

  ---

• Aufstellen der Vermutung durch Berechnen der ersten fünf Glieder der Zahlenfolge

  a₁ = -1,5
  a₂ = 1,5
  a₃ = -1,25
  a₄ = 0,75
  a₅= -0,46875

  Vermutung: Zwischen aufeinanderfolgenden Zahlenfolgegliedern wechselt stets das Vorzeichen. Der Betrag der Zahlenfolgeglieder wird zwar kleiner, die Zahlenfolge selbst ist jedoch nicht monoton.

• Beweis der Aussage:
  Bilden des Nachfolgers a_n+1

  a n  +  1

  =

  3 ( n  +  1 ) (  −  2 ) n  +  1

  =

  3n  +  3 (  −  2 ) n  +  1

  
  Anwenden des Monotoniekriteriums

  a n  +  1

  −

  a n

  =

  3n  +  3 (  −  2 ) n  +  1

  −

  3n (  −  2 ) n

  
  Zusammenfassen der Terms

  Der Hauptnenner der beiden Summanden ist (-2)ⁿ⁺¹. Deshalb muss nur der zweite Summand mit dem Faktor (-2) erweitert werden, denn es gilt:

  (  −  2 )

  ·

  (  −  2 ) n

  =

  (  −  2 ) n  +  1

  a n  +  1

  −

  a n

  =

  3n  +  3 (  −  2 ) n  +  1

  −

  3n (  −  2 ) n

  =

  3n  +  3  −  3n  ·  (  −  2 ) (  −  2 ) n  +  1

  =

  3n  +  3  +  6n (  −  2 ) n  +  1

  a n  +  1

  −

  a n

  =

  9n  +  3 (  −  2 ) n  +  1

  
  Auswerten des Terms

  Der Zähler ist für alle n∈N größer als Null.
  Für den Nenner gilt:
  Falls n ungerade ist, ist der Nenner ebenfalls positiv, also a_n+1 - a_n > 0.⇒ Die Folge ist monoton wachsend.
  Falls n gerade ist, wird der Nenner negativ, also a_n+1 - a_n < 0. ⇒ Die Folge ist monoton fallend.

  Da n∈N, würde sich die Monotonie von einem Glieder der Zahlenfolge zu dessen Nachfolger immer wieder ändern. Deshalb ist die Folge nicht monoton. Die Zahlenfolge ist alternierend.

  Auch hier soll die grafische Darstellung der Zahlenfolge dieses Ergebnis veranschaulichen.

---

Zum Aufstellen einer Vermutung berechnen wir die ersten Glieder der Zahlenfolge. Wir erhalten:

n	an
1	4
2	3,375
3	3,1605
4	3,0518
5	2,986

Beweis der Vermutung

• Bestimmen des (n+1)-ten Glieds der Zahlenfolge

  a n  +  1

  =

  ( 1  +  1 n  +  1 ) n  +  1  +  1

  =

  ( 1  +  1 n  +  1 ) n  +  2

  =

  ( n  +  1  +  1 n  +  1 ) n  +  2

  =

  ( n  +  2 n  +  1 ) n  +  2

• Aus der Vermtuung ergibt das folgenden Monotoniekriterium, wobei a_n etwas umgeformt wurde.

  ( n  +  2 n  +  1 ) n  +  2

  −

  ( n  +  1 n ) n  +  1

  <0

  Die sich daraus ergebenden Umformungen sind nicht ganz einfach.

  ( n  +  2 n  +  1 ) n  +  2	<	( n  +  1 n ) n  +  1
  ( n  +  2 n  +  1 ) n  ·  ( n  +  2 n  +  1 ) 2	<	( n  +  1 n ) n  ·  n  +  1 n	|  :  ( n  +  1 n ) n   |  :  ( n  +  2 n  +  1 ) 2
  ( n  +  2 n  +  1  ·  n n  +  1 ) n	<	n  +  1 n  ·  ( n  +  1 n  +  2 ) 2
  ( n 2  +  2n n 2   2n  +  1 ) n	<	( n  +  1 ) 3 n  ·  ( n  +  2 ) 2
  ( n 2  +  2n n 2  +  2n  +  1 ) n	<	( n  +  1 ) 3 n  ·  ( n  +  2 ) 2

  Beide Terme der Ungleichung sind kleiner als 1, aber der linke Term ist stets kleiner als der Term auf der rechten Seite. Das gilt für alle natürlichen Zahlen n≥1.
  Daraus folgt:

  a n  +  1

  −

  a n

  <

  0

  Die Folge ist streng monoton fallend.

---

Zunächst berechnen wir die ersten zehn Glieder der Zahlenfolge. Dabei ist zu beachten, dass die n-Werte als Bogenmaß verstanden werden müssen. Am GTR ist das meist die Einstellung (2π) als Winkelmaß. Die Tabelle zeigt die Glieder der Folge

n	an		Während man bis a6 noch vermuten könnte, dass die Folge alternierend ist, widerlegen das die nächsten Glieder der Folge. Die nebenstehende Abbildung zeigt eine grafische Darstellung der Folge. Daraus ist erkennbar: Die Zahlenfolge ist nicht monoton.
1	-0,193
2	0,3927
3	-0,242
4	0,0556
5	-0,739
6	0,2197
7	0,0453
8	1,6455
9	-0,181
10	-0,122

Um die Bildungsvorschrift zu ermitteln, sollen die Glieder a₁ und a₂ zunächst nicht beachtet werden. Dann erkennt man schnell, dass der Zähler der restlichen Glieder der Folge mit deren Nummer n übereinstimmt. Der Nenner wird durch die Potenzen von 2 gebildet, wobei der Exponent um 1 kleiner als die Nummer des Zahlenfolgeglieds ist. Aus diesen überlegungen erhalten wir

( a n )

=

n 2 n  −  1

Eine Probe zeigt, dass diese Bildungsvorschrift auch für a₁ und a₂ zutrifft.

Für den Nachweis der Monotonie bilden wir zuerst den Term a_n+1 - a_n. Dabei schreiben wir die Bildungsvorschrift unter Verwendung der Potenzgesetze um, denn es gilt:

n 2 n  −  1

=

n 2 n 2

=

2n 2 n

Damit erhalten wir

2 ( n  +  1 ) 2 n  +  1

−

2n 2 n

=

2 ( n  +  1 )  −  2n  ·  2 2 n

=

2n  +  2  −  4n 2 n

=

−  2n  +  2 2 n

Für n≥2 gilt:

−  2n  +  2 2 n

<

0