1. streng monotone Zahlenfolge

    Untersuchen Sie, ob die gegebene Zahlenfolge streng monoton ist.

    a n
     = 
    3n    1
    n 2
    Lösung
    • Bilden des Nachfolgers an+1
      a
      n  +  1
       = 
      3
      ( n  +  1 )
         1
      ( n  +  1 )
      2
       = 
      3n  +  2
      n 2
       +  2n  +  1


    • Anwenden des Monotoniekriteriums
      a
      n  +  1
        
      a n
       = 
      3n  +  2
      n 2
       +  2n  +  1
        
      3n    1
      n 2


    • Zusammenfassen der Terms (Hauptnenner bilden)

      Der Hauptnenner der Zahlenfolgenglieder lautet (n2+2n+1)⋅n2. Demzufolge muss der erste Bruch mit n2 erweitert werden. Der zweite Term wird mit (n2+2n+1) erweitert.

      a
      n  +  1
        
      a n
       = 
      ( 3n  +  2 )
       · 
      n 2
        
      ( 3n    1 )
       · 
      (
      n 2
       +  2n  +  1 )
      (
      n 2
       +  2n  +  1 )
       · 
      n 2
      a
      n  +  1
        
      a n
       = 
      (
      3n 3
       + 
      2n 2
      )
        
      (
      3n 3
       + 
      6n 2
       +  3n   
      n 2
         2n    1 )
      n 4
       + 
      2n 3
       + 
      2n 2
      a
      n  +  1
        
      a n
       = 
        
      3n 2
         n  +  1
      n 4
       + 
      2n 3
       + 
      2n 2
       =    
      3n 2
       +  n    1
      n 4
       + 
      2n 3
       + 
      2n 2
      a
      n  +  1
        
      a n
       =    
      3n 2
       +  n    1
      n 4
       + 
      2n 3
       + 
      2n 2

      Monotonie Für den Nenner gilt für den gesamten Definitionsbereich: n4+2n3+n2 > 0
      Für den Zähler gilt für den gesamten Definitionsbereich: -(3n2+n-1) < 0

      Ergebnis: Für alle n∈N gilt: an+1 - an < 0. Die Zahlenfolge ist streng monoton fallend.

      Die folgende grafische Darstellung der Zahlenfolge verdeutlicht diese Ergebnis anschaulich.

      Hinweis zu den Termunformungen: Hier werden die binomischen Formeln benötigt.


  2. Monotonieuntersuchung

    Untersuchen Sie die Zahlenfolge auf Monotonie. Stellen Sie zunächst eine Vermutung auf. Beweisen Sie die Vermutung.

    a n
     = 
    3n
    (    2 )
    n
    Lösung
    • Aufstellen der Vermutung durch Berechnen der ersten fünf Glieder der Zahlenfolge

      a1 = -1,5
      a2 = 1,5
      a3 = -1,25
      a4 = 0,75
      a5= -0,46875

      Vermutung: Zwischen aufeinanderfolgenden Zahlenfolgegliedern wechselt stets das Vorzeichen. Der Betrag der Zahlenfolgeglieder wird zwar kleiner, die Zahlenfolge selbst ist jedoch nicht monoton.

    • Beweis der Aussage:
      Bilden des Nachfolgers an+1
      a
      n  +  1
       = 
      3
      ( n  +  1 )
      (    2 )
      n  +  1
       = 
      3n  +  3
      (    2 )
      n  +  1

      Anwenden des Monotoniekriteriums
      a
      n  +  1
        
      a n
       = 
      3n  +  3
      (    2 )
      n  +  1
        
      3n
      (    2 )
      n

      Zusammenfassen der Terms

      Der Hauptnenner der beiden Summanden ist (-2)n+1. Deshalb muss nur der zweite Summand mit dem Faktor (-2) erweitert werden, denn es gilt:

      (    2 )
       · 
      (    2 )
      n
       = 
      (    2 )
      n  +  1

      a
      n  +  1
        
      a n
       = 
      3n  +  3
      (    2 )
      n  +  1
        
      3n
      (    2 )
      n
       = 
      3n  +  3    3n  · 
      (    2 )
      (    2 )
      n  +  1
       = 
      3n  +  3  +  6n
      (    2 )
      n  +  1
      a
      n  +  1
        
      a n
       = 
      9n  +  3
      (    2 )
      n  +  1

      Auswerten des Terms

      Monotonie Der Zähler ist für alle n∈N größer als Null.
      Für den Nenner gilt:
      Falls n ungerade ist, ist der Nenner ebenfalls positiv, also an+1 - an > 0.⇒ Die Folge ist monoton wachsend.
      Falls n gerade ist, wird der Nenner negativ, also an+1 - an < 0. ⇒ Die Folge ist monoton fallend.

      Da n∈N, würde sich die Monotonie von einem Glieder der Zahlenfolge zu dessen Nachfolger immer wieder ändern. Deshalb ist die Folge nicht monoton. Die Zahlenfolge ist alternierend.

      Auch hier soll die grafische Darstellung der Zahlenfolge dieses Ergebnis veranschaulichen.


  3. Stellen Sie eine Vermutung über das Monotonieverhalten der Zahlenfolge (an) auf und beweisen Sie diese.
    (
    a n
    )
     = 
    ( 1  + 
    1
    n
    )
    n  +  1
    Lösung:
    Zum Aufstellen einer Vermutung berechnen wir die ersten Glieder der Zahlenfolge. Wir erhalten:
    n an
    1 4
    2 3,375
    3 3,1605
    4 3,0518
    5 2,986
    Vermutung: Die Zahlenfolge (an) ist streng monoton fallend.
    Beweis der Vermutung
    • Bestimmen des (n+1)-ten Glieds der Zahlenfolge
      a
      n  +  1
       = 
      ( 1  + 
      1
      n  +  1
      )
      n  +  1  +  1
       = 
      ( 1  + 
      1
      n  +  1
      )
      n  +  2
    • Anwenden des Monotoniekriteriums
      a
      n  +  1
        
      a n
       = 
      ( 1  + 
      1
      n  +  1
      )
      n  +  2
        
      ( 1  + 
      1
      n
      )
      n  +  1
      Dieser Term kann nicht mit unseren Mitteln nicht weiter zusammengefasst werden. Deshalb lösen wir das Problem durch Vergleich der beiden Summanden anhand der Tabelle, aus der wir die Vermutung abgeleitet haben. Dabei zeigt, dass a2 < a1 und a3 < a2 usw. Allgemein gilt also
      a
      n  +  1
        <  
      a n
      a
      n  +  1
        
      a n
        <   0
      Die Folge ist also monoton fallend.

  4. Verwendung des GTR
    Ermitteln Sie mit Hilfe des GTR eine Vermutung zum Monotonieverhalten der folgenden Zahlenfolge.
    (
    a n
    )
     = 
    cos
    ( 2n )
    4  · 
    cos   n
    Lösung:
    Monotonie Zunächst berechnen wir die ersten zehn Glieder der Zahlenfolge. Dabei ist zu beachten, dass die n-Werte als Bogenmaß verstanden werden müssen. Am GTR ist das meist die Einstellung (2π) als Winkelmaß. Die Tabelle zeigt die Glieder der Folge
    n an   Während man bis a6 noch vermuten könnte, dass die Folge alternierend ist, widerlegen das die nächsten Glieder der Folge. Die nebenstehende Abbildung zeigt eine grafische Darstellung der Folge. Daraus ist erkennbar:

    Die Zahlenfolge ist nicht monoton.

    1 -0,193
    2 0,3927
    3 -0,242
    4 0,0556
    5 -0,739
    6 0,2197
    7 0,0453
    8 1,6455
    9 -0,181
    10 -0,122
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