1. Beschränktheit einer Zahlenfolge
   Untersuchen Sie, ob die folgende Zahlenfolge beschränkt ist!

   a n

   =

   3n  −  1 n 2

   Lösung:

   Bei einer solchen Aufgabenstellung ist es immer besser, zuerst zu überprüfen, ob die Zahlenfolge monoton ist, und welche Art von Monotonie vorliegt. Hier soll darauf verzichtet werden, da wir auf der vorherigen Aufgabenseite bereits gezeigt haben, dass diese Folge streng monoton fallend ist.
   Daraus folgt direkt, dass es obere Schranken geben muss, denn a₁ muss dann den größten möglichen Wert der Zahlenfolge haben.
   a₁ = 2

   • Nachweis: 2 ist obere Schranke der gegebenen Zahlenfolge

     3n  −  1 n 2  ≤  2	| ⋅n2
     3n  −  1  ≤  2n 2	| -3n+1
     0  ≤  2n 2  −  3n  +  1
     1. Lösung:	n ≥ 1	Diese Lösung ist eine wahre Aussage, denn natürlich ist die Zahl n immer größer als 1 laut Definitionsbereich.
     2. Lösung:	n ≤ 0,5	Die zweite Lösung entfällt, da sie dem Definitionsbereich von Zahlenfolgen widerspricht.

     Ergebnis: Die Zahlenfolge a_n ist nach oben beschränkt mit s_o ≥ 2.

   • Vermutung über die Existenz von unteren Schranken
     Dazu werden einige Glieder der Folge berechnet.

     n	10	20	30	40
     an	0,29	0,1475	0,09	0,0744

     Vermutung: Die Glieder der Zahlenfolge werden nicht kleiner als Null: s_u ≤ 0

   • Nachweis: Null ist untere Schranke der gegebenen Zahlenfolge

     3n  −  1 n 2  ≥  0   |  ·  n 2

     3n  −  1  ≥  0   |  +  1

     3n  ≥  1   |  :  3

     n  ≥  1 3

     Ergebnis: Die Zahlenfolge a_n ist nach unten beschränkt mit s_u ≤ 0.
     Die Zahlenfolge a_n ist laut Definition beschränkt.

   ---

2. Untersuchen Sie, ob die Zahl g = 2,5 Grenzwert der Zahlenfolge a_n ist!

   a n

   =

   5n  +  3 2n

   Lösung:

   Der Nachweis erfolgt mit Hilfe der Grenzwertdefinition. Dazu wählen wir eine beliebige kleine Zahl ε = 0,01. Daraus folgt die Ungleichung

   | 5n  +  3 2n  −  2,5 |

   <

   0,01

   1. Fall: an - g < ε	2. Fall: -(an - g) < ε
   5n  +  3 2n  −  2,5 < 0,01 | ⋅2n 5n  +  3  −  5n < 0,02n 3 < 0,02n | : 0,02 150 < n	−  5n  +  3 2n  −  2,5 < 0,01 | ⋅(-1) 5n  +  3 2n  −  2,5 > -0,01 | ⋅2n 5n  +  3  −  5n > -0,02n 3 > -0,02n | : (-0,02) -150 < n
   Ergebnis: Alle Glieder der Zahlenfolge mit n > 150 liegen innerhalb der ε-Umgebung.

   Ergebnis:
   Die Zahlenfolge a_n ist konvergent. Der Grenzwert lautet g=2,5. Ab dem 151. Glied der Zahlenfolge liegen alle Glieder der Folge innerhalb der ε-Umgebung.

   ---

3. Gegeben sei eine Zahlenfolge (a_n) und eine Zahl g mit

   ( a n )

   =

   1  −  n 2n

   ;

   g

   =

   −

   1 2

   
   (a) Geben Sie die ersten fünf Glieder der Folge an.
   (b) Weisen Sie nach, dass diese Folge monoton fallend ist.
   (c) Zeigen Sie, dass g untere Grenze ist.
   (d) Bestimmen Sie für ε=0,01 dasjenige n, von dem ab alle Glieder der Folge Elemente der ε-Umgebung sind.

   Lösung:

   1. n	1	2	3	4	5
      an	0	−  1 4	−  1 3	−  3 12	−  2 5

   2. a n  +  1

      −

      a n

      <

      0

      1  −  ( n  +  1 ) 2 ( n  +  1 )

      −

      1  −  n 2n

      =

      −

      n 2n  +  2

      −

      1  −  n 2n

      =	(  −  n )  ·  2n  −  ( 1  −  n ) ( 2n  +  2 ) ( 2n  +  2 )  ·  2n

      =	−  2n 2  −  2n  −  2  +  2n  +  2 ( 2n  +  2 )  ·  2n

      −

      2n 2 ( 2n  +  2 )  ·  2n

      <

      0

      Die Zahlenfolge (a_n) ist monoton fallend

   3. a n

      ≥

      g u

      1  −  n 2n	≥	−  1 2	|  ·  2n
      1  −  n	≥	−  n	|  +  n
      1	≥	0

      g ist untere Grenze der Zahlenfolge.

   4. |a n

      −

      g|

      <

      ε

      1.Fall  :  1  −  n 2n  −  (  −  1 2 )  >  0				2.Fall  :  1  −  n 2n  −  (  −  1 2 )  <  0
      1  −  n 2n  +  1 2	<	1 100	|  ·  2n	−  ( 1  −  n 2n  +  1 2 )	<	1 100	|  ·  (  −  2n )
      1  −  n  +  n	<	2n 100	|  ·  100	1  −  n  +  n	<	−  2n 100	|  ·  100
      100	<	2n	|  :  2	100	<	−  2n	|  :  (  −  2 )
      50	<	n		−  50	>	n

      Ab dem 51. Glied der Folge liegen alle a_n innerhalb der ε-Umgebung.

Bemerkung:
In diesen Beispielaufgaben werden quadratische Ungleichungen gelöst. Diese werden eigentlich genauso berechnet wie quadratische Gleichungen. Man könnte also zum Beispiel das Equa-Menü des Taschenrechners benutzen. Allerdings muss man beachten, dass sich das Relationszeichen bei der zweiter Lösung ändert. Falls Bedarf besteht habe ich auf einer gesonderten Seite diese Problem an einem Beispiel dargestellt. Das gleiche gilt auch für die Fallunterscheidungen, die sich aus den Betragsungleichungen ergeben.