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Die Beispielaufgaben zur Berechnung von Grenzwerten sind so ausgewählt, dass bestimmte allgemeingültige Regeln abgeleitet werden können, die auch für Funktionen nützlich sein werden. Auch nicht-rationale Zahlenfolgen werden betrachtet.
  1. Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge
    a n
     = 
    3n    2
    n  +  2
    Lösung:
    lim
    n→∞
     
    3n    2
    n  +  2
     = 
    lim
    n→∞
     
    n  · 
    ( 3   
    2
    n
    )
    n  · 
    ( 1  + 
    2
    n
    )
     =  3
    Der Term 2n in Zähler und Nenner ist eine Nullfolge. Der Faktor n kann gekürzt werden.

    g = 3

    Der größte Exponent der Variablen n ist im Zähler und Nenner gleich. Deshalb ergibt der Quotient der Koeffizienten dieser Glieder den Grenzwert.
    In diesem Beispiel wäre das: 3 : 1 = 3 = g


  2. Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge
    a n
     = 
    n  +  1
    2n 2
     +  1
    Lösung:
    lim
    n→∞
     
    n  +  1
    2n 2
     +  1
     = 
    lim
    n→∞
     
    n  · 
    ( 1  + 
    1
    n
    )
    n 2
     · 
    ( 2  + 
    1
    n 2
    )
     = 
    lim
    n→∞
     
    1
    2n
     =  0
    Auch hier entstehen in Zähler und Nenner wieder zwei Nullfolgen. Nach dem Kürzen bleibt im Nenner der Faktor n stehen, so dass der entstehende Term wieder eine Nullfolge darstellt.

    g = 0

    Der größte Exponent von n ist in diesem Beispiel im Nenner größer als im Zähler. Deshalb ergibt sich nach dem Ausklammern eine Nullfolge. Der Grenzwert ist in einem solchen Fall immer 0.


  3. Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge
    a n
     = 
    n 3
     +  2n
    2n 2
     +  1
    Lösung:
    lim
    n→∞
     
    n 3
     +  2n
    2n 2
     +  1
     = 
    lim
    n→∞
     
    n 3
     · 
    ( 1  + 
    2
    n 2
    )
    n 2
     · 
    ( 2  + 
    1
    n 2
    )
     = 
    lim
    n→∞
     
    n
    2
     = 
    Nach dem Kürzen von Zähler und Nenner und dem Wegglassen der durch das Ausklammern entstandenen Nullfolgen bleibt der Term n⁄2 übrig. Dadurch entsteht der uneigentliche Grenzwert ∞.

    Die Zahlenfolge ist divergent. g = ∞

    In diesem Beispiel befindet sich n mit dem größeren Exponenten im Zähler. Solche Zahlenfolgen sind immer divergent.


  4. Ermitteln Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze den Grenzwert der folgenden Zahlenfolgen
    (
    a n
    )
     = 
    10
    n
     + 
    n  +  1
    n
    (
    b n
    )
     = 
    e n
     + 
    e
       n
    Lösung:
    Wir berechnen für jeden Summanden einzeln die Grenzwerte und addieren diese.
    lim
    n→∞
     
    (
    a n
    )
     = 
    lim
    n→∞
     
    10
    n
     + 
    lim
    n→∞
     
    n  +  1
    n
     = 
    lim
    n→∞
     
    10
    1
    n
     + 
    lim
    n→∞
     
    n  +  1
    n
    =   1  +  1  =  2
    Zur Erklärung:
    Im ersten Summanden entsteht durch Anwenden der Potenzschreibweise der Wurzel der Term 1/n im Exponenten. Das ist eine Nullfolge und es gilt 100 = 1.
    Der Grenzwert des zweiten Summanden ermittelt sich wie in der Beispielaufgabe (1).
    lim
    n→∞
     
    (
    b n
    )
     = 
    lim
    n→∞
      
    e n
     + 
    lim
    n→∞
     
    e
       n
     = 
    lim
    n→∞
     
    e n
     + 
    lim
    n→∞
     
    1
    e n
    =    +  0  = 
    Zur Erklärung:
    Der Wert des ersten Summanden wird mit wachsendem n ebenfalls immer größer. Das ergibt sich aus den Eigenschaften der e-Funktion.
    Der zweiten Summand wird zunächst so umgeschrieben, dass der Exponent positiv wird. Damit entsteht einen Nullfolge.
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