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Die Beispielaufgaben zur Berechnung von Grenzwerten sind so ausgewählt, dass bestimmte allgemeingültige Regeln abgeleitet werden können, die auch für Funktionen nützlich sein werden. Auch nicht-rationale Zahlenfolgen werden betrachtet.
  1. Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge
    a n
    		  = 
    3n  −  2
    n  +  2
    Lösung:
    lim
    n→∞
    		 
    3n  −  2
    n  +  2
    		 = 
    lim
    n→∞
    		 
    n  · 
    ( 3  − 
    2
    n
    		 )
    n  · 
    ( 1  + 
    2
    n
    		 )
    		 =  3
    Der Term 2⁄n in Zähler und Nenner ist eine Nullfolge. Der Faktor n kann gekürzt werden.

    g = 3

    Der größte Exponent der Variablen n ist im Zähler und Nenner gleich. Deshalb ergibt der Quotient der Koeffizienten dieser Glieder den Grenzwert.
    In diesem Beispiel wäre das: 3 : 1 = 3 = g

  2. Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge
    a n
    		  = 
    n  +  1
    2n 2
    		  +  1
    Lösung:
    lim
    n→∞
    		 
    n  +  1
    2n 2
    		  +  1
    		 = 
    lim
    n→∞
    		 
    n  · 
    ( 1  + 
    1
    n
    		 )
    n 2
    		  · 
    ( 2  + 
    1
    n 2
    		 )
    		 = 
    lim
    n→∞
    		 
    1
    2n
    		  =  0
    Auch hier entstehen in Zähler und Nenner wieder zwei Nullfolgen. Nach dem Kürzen bleibt im Nenner der Faktor n stehen, so dass der entstehende Term wieder eine Nullfolge darstellt.

    g = 0

    Der größte Exponent von n ist in diesem Beispiel im Nenner größer als im Zähler. Deshalb ergibt sich nach dem Ausklammern eine Nullfolge. Der Grenzwert ist in einem solchen Fall immer 0.

  3. Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge
    a n
    		  = 
    n 3
    		  +  2n
    2n 2
    		  +  1
    Lösung:
    lim
    n→∞
    		 
    n 3
    		  +  2n
    2n 2
    		  +  1
    		 = 
    lim
    n→∞
    		 
    n 3
    		  · 
    ( 1  + 
    2
    n 2
    		 )
    n 2
    		  · 
    ( 2  + 
    1
    n 2
    		 )
    		 = 
    lim
    n→∞
    		 
    n
    2
    		  =  ∞
    Nach dem Kürzen von Zähler und Nenner und dem Wegglassen der durch das Ausklammern entstandenen Nullfolgen bleibt der Term n⁄2 übrig. Dadurch entsteht der uneigentliche Grenzwert ∞.

    Die Zahlenfolge ist divergent. g = ∞

    In diesem Beispiel befindet sich n mit dem größeren Exponenten im Zähler. Solche Zahlenfolgen sind immer divergent.

  4. Ermitteln Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze den Grenzwert der folgenden Zahlenfolgen
    (
    a n
    		 )
    		 = 
    √
    10
    n
    		  + 
    n  +  1
    n
    (
    b n
    		 )
    		 = 
    e n
    		  + 
    e
     −  n
    Lösung:
    Wir wenden wieder die Grenzwertsätze an.
    lim
    n→∞
    		 
    (
    a n
    		 )
    =lim
    n→∞
    		 
    √
    10
    n
    		  + 
    lim
    n→∞
    		 
    n  +  1
    n
    		Im ersten Summanden schreiben wir die Wurzel als Potenz.
    Im zweiten Summanden wird im Zähler n ausgeklammert.
    =lim
    n→∞
    		 
    10
    1
    n
    		 + 
    lim
    n→∞
    		 
    n
    ( 1  + 
    1
    n
    		 )
    n
    		Der Exponent im ersten Summanden stellt eine Nullfolge dar.
    Im zweiten Summanden wird n gekürzt.
    =lim
    n→∞
    		 
    10 0
    		  +  
    lim
    n→∞
    		 
    ( 1  + 
    1
    n
    		 )
    		Im ersten Summanden gilt: 100=1.
    Im zweiten Summanden steht wieder die Nullfolge 1/n.
    =1  +  1  =  2  =  g
    lim
    n→∞
    		 
    (
    b n
    		 )
    =lim
    n→∞
    		  
    e n
    		  + 
    lim
    n→∞
    		 
    e
     −  n
    		Im ersten Summanden steht eine normale Exponentialfunktion.
    Im zweiten Summanden wird der Exponent positiv gemacht.
    =lim
    n→∞
    		 
    e n
    		  + 
    lim
    n→∞
    		 
    1
    e n
    		Der erste Summand ist divergent, da Exponentialfunktionen unendlich groß werden.
    Aus diesem Grund entsteht im zweiten Summanden aber eine Nullfolge.
    =∞  +  0  =  ∞
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