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Die Beispielaufgaben zu Partialsummen und Zahlenreihen sollen soweit wie möglich ohne GTR gelöst werden.
  1. Es ist die Partialsummenfolge (sn) gegeben mit
    (
    s n
    		 )
    		 = 
    ( 1  − 
    1
    2 n
    		 )
    a) Ermitteln Sie die ersten fünf Glieder der erzeugenden Zahlenfolge (ak).
    b) Geben Sie die explizite Bildungsvorschrift dieser Zahlenfolge an.
    c) Berechnen die Partialsumme (sn).
    Lösung:
    Um Aufgabe (a) zu lösen, bilden zunächst die ersten fünf Partialsummen. Dabei wird auch versucht, die entsprechenden Glieder der zugehörigen Zahlenfolge zu ermitteln.
    s 1
    		  =  1  − 
    1
    2 1
    		  =  1  − 
    1
    2
    		  = 
    1
    2
    a 1
    		  = 
    1
    2
    s 2
    		  =  1  − 
    1
    2 2
    		  =  1  − 
    1
    4
    		  = 
    3
    4
    		  = 
    1
    2
    		  + 
    1
    4
    		  = 
    a 1
    		  + 
    a 2
    a 2
    		  = 
    1
    4
    s 3
    		  =  1  − 
    1
    2 3
    		  =  1  − 
    1
    8
    		  = 
    7
    8
    		  = 
    1
    2
    		  + 
    1
    4
    		  + 
    1
    8
    		  = 
    a 1
    		  + 
    a 2
    		  + 
    a 3
    a 3
    		  = 
    1
    8
    s 4
    		  =  1  − 
    1
    2 4
    		  =  1  − 
    1
    16
    		  = 
    15
    16
    		  = 
    1
    2
    		  + 
    1
    4
    		  + 
    1
    8
    		  + 
    1
    16
    		  = 
    a 1
    		  + 
    a 2
    		  + 
    a 3
    		  + 
    a 4
    a 4
    		  = 
    1
    16
    s 5
    		  =  1  − 
    1
    2 5
    		  =  1  − 
    1
    32
    		  = 
    31
    32
    		  = 
    1
    2
    		  + 
    1
    4
    		  + 
    1
    8
    		  + 
    1
    16
    		  + 
    1
    32
    		  = 
    a 1
    		  + 
    a 2
    		  + 
    a 3
    		  + 
    a 4
    		  + 
    a 5
    a 5
    		  = 
    1
    32
    Damit gilt für die Zahlenfolge (an):
    (
    a n
    		 )
    		 = 
    (
    1
    2
    		   ;  
    1
    4
    		   ;  
    1
    8
    		   ;  
    1
    16
    		   ;  
    1
    32
    		   ;... )
    Damit ergibt sich auch die Lösung für Aufgabe (b). Da die Nenner der Brüche Potenzen von 2 sind, erhalten wir als explizite Bildungsvorschrift:
    (
    a n
    		 )
    		 = 
    1
    2 n
    Um in Aufgabe (c) ist die Partialsumme (sn) zu berechnen, benötigen wir den Grenzwert der Summenformel für n gegen Unendlich.
    (
    s n
    		 )
    		 = 
    lim
    n→∞
    		 
    ( 1  − 
    1
    2 n
    		)
    		 =  1  − 
    lim
    n→∞
    		 
    1
    2 n
    1
    2 n
    		   ist   eine   Nullfolge
    (
    s n
    		 )
    		 =  1
  2. Schreiben Sie die folgenden Summen mit Hilfe des Summenzeichens.
    ( a )
    		 
    √
    1
    		 + 
    √
    2
    		 + 
    √
    3
    		 + 
    √
    4
    		 +  ...  
    √
    n
    ( b )
    		 
    1
    2
    		  − 
    2
    3
    		  + 
    3
    4
    		  − 
    4
    5
    		  +  ...  − 
    18
    19
    Lösung:
    Aufgabe (a) ist leicht umzuschreiben.
    ( a )
    		 
    n
    Σ
    k  =  1
    		  
    √
    n
    Aufgabe (b) ist nicht ganz so einfach zu lösen. Die Zähler folgen der Nummer des Summanden, die Nenner sind jeweils um Eins größer. Aber die Summanden besitzen ein alternierendes Vorzeichen. Damit ergibt sich das folgende Ergebnis.
    ( a )
    		 
    18
    Σ
    k  =  1
    		 
    (  −  1 )
    n  +  1
    		 · 
    n
    n  +  1
  3. Geben Sie die folgenden Summen gliedweise an.
    ( a )
    		 
    9
    Σ
    k  =  1
    		  
    k
    2
    ( b )
    		 
    4
    Σ
    i  =  0
    		   i  · 
    √
    i  +  1
    Lösung:
    ( a )
    		 
    1
    2
    		  +  1  + 
    3
    2
    		  +  2  + 
    5
    2
    		  +  3  + 
    7
    2
    		  +  4  + 
    9
    2
    ( b )
    		  0  · 
    √
    1
    		 +  1  · 
    √
    2
    		 +  2  · 
    √
    3
    		 +  3  · 
    √
    4
    		 +  4  · 
    √
    5
    =0  + 
    √
    2
    		 +  2  · 
    √
    3
    		 +  6  +  4  · 
    √
    5
  4. Von einer arithmetischen Zahlenfolge sind bekannt
    a 1
    		  = 
    7
    3
    		   ;   d  = 
    5
    3
    		   ;  
    s n
    		  =  210
    Ermitteln Sie die Anzahl der summierten Glieder n sowie den letzten Summanden an der gegebenen Partialsumme.
    Lösung:
    Zur Lösung der Aufgabe benötigen wir den Satz über Partialsummen arithmetischer Zahlenfolgen, der in letzten Lektion ein geführt haben. Für Partialsummen arithmetischer Zahlenfolgen gilt demnach
    ( I )
    		 
    s n
    		  = 
    n
    2
    		  · 
    (
    a 1
    		  + 
    a n
    		 )
    Gleichzeitig kennen wir die explizite Bildungsvorschrift arithmetischer Zahlenfolgen.
    ( II )
    		 
    a n
    		  = 
    a 1
    		  + 
    ( n  +  1 )
    		 ·  d
    Setzen wir Gleichung (II) in Gleichung (I) ein, so ergibt sich
    s n
    		  = 
    n
    2
    		  · 
    (
    2a 1
    		  + 
    ( n  −  1 )
    		 ·  d )
    Durch Einsetzen der gegebenen Größen ergibt als letztlich die folgende Gleichung.
    210  = 
    n
    2
    		  · 
    ( 2  · 
    7
    3
    		  + 
    ( n  −  1 )
    		 · 
    5
    3
    		 )
    Lösen wir die Gleichung mit dem GTR, erhalten wir
    n1 = -16,8 ⇒ Lösung liegt nicht im Definitionsbereich
    n2=15 ⇒ Es wurden 15 Summanden in der Partialsumme addiert.

    Der letzte Summand ist a15. Es gilt:

    a 15
    		  = 
    a 1
    		  + 
    ( n  +  1 )
    		 ·  d  = 
    7
    3
    		  + 
    ( 15  −  1 )
    		 · 
    5
    3
    a 15
    		  = 
    77
    3

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