Eine Zahlenfolge ist eine besondere Art einer Funktion.
⇒ Definition Zahlenfolge

Eine Folge ist eine Funktion [n; f(n)], deren Defintionsbereich eine Menge natürlicher Zahlen N* ist. Die Elemente f(n) des Wertebereichs heißen Glieder der Folge, die mit an bezeichnet werden. Die Folge wird durch (an) symbolisiert.

Zahlenfolge haben Eigenschaften, die mit denen einer Funktion vergleichbar. Die Gegenüberstellung in der Tabelle macht das deutlich.

	Zahlenfolge	Funktion
Definitionsbereich	Die Werte, die in Zahlenfolgen eingesetzt werden, bezeichnet man mit n. Es   gilt  :  n  ∈  N  ∧  n  ≥  0	Die Werte, die in Funktionen eingesetzt werden, bezeichnet man mit x. Es   gilt  :  x  ∈  R
Wertebereich	Die Werte, die zugeordnet werden, heißen Glieder der Zahlenfolge. Sie werden mit anbezeichnet. Es   gilt  :  a n  ∈  R	Die Werte, die zugeordnet werden, heißen Funktionswerte. Sie werden mit y bezeichnet. Es   gilt  :  y  ∈  R
mathematische Beschreibung	Zur Berechnung der Zahlenfolgenglieder kann gegebenenfalls eine Bildungsvorschrift angegeben werden. Es   gilt  :  ( a n )  =  f ( n ) n: Nummer des Glieds der Zahlenfolge an ist das entsprechend Glied der Folge	Zur Berechnung der Funktionswerte wird eine Funktionsgleichung angegeben. Es   gilt  :  y  =  f ( x )
grafische Darstellung	Zahlenfolgen können in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Dabei entsteht eine Reihe diskreter Punkte, die nicht verbunden werden dürfen.	Funktionen ergeben im Koordinatensystem durchgehende Kurven oder Geraden.
Beispiel: Gleichung	( a n )  =  2n  +  1   oder   ( a n  +  1 )  =  a n  +  2;   a 1  =  3	y  =  2x  +  1
Beispiel Darstellung

Betrachten wir einige Beispiele für Folgen. 

( a n )

=

{6;

4;

2;

0;

−

2}

( b n )

=

{1;

2;

5;

10;

13;

26;

29;...}

( c n )

=

{0;

3;

8;

15;

24;

35;

...}

Die Zahlenfolge ist eine endliche Folge, da ihr Definitionsbereich eine definierte Anzahl von Elementen enthält. Die Folge (a_n) besitzt den Definitionsbereich:

D a n

:

n

∈

N,

1

≤

;n

≤

5

Die Folge (b_n) durch die zunächst Glieder b₁=1 bis b₇=29 beschrieben. Die Punkte nach b₇ symbolisieren, dass die Folge fortgesetzt werden kann. Für den Definitionsbereich gilt hier also.

D b n

:

n

∈

N,

n>0

Deshalb nennt man (b_n) eine unendliche Folge.
Versuchen Sie nun die nächsten drei Glieder der Folge (b_n) anzugeben.

b₈ = b₉ = b₁₀ =

Betrachten wir nun die Folge (c_n). Auch diese Folge ist offenbar unendlich. Versuchen Sie deshalb auch hier die nächsten drei Glieder der Folge anzugeben.

c₇ = c₈ = c₉ =

Wenn man das System erkannt hat , besitzt die Folge (c_n) gegenüber (b_n) den Vorteil. dass man diese Zahlenfolge durch eine Gleichung beschreiben kann, die man hier als Bildungsvorschrift bezeichnet.
Welche der folgenden Gleichungen kann als Bildungsvorschrift der Folge (c_n) verwendet werden?

	c n  =  n 2  −  1
	c n  =  ( n  −  1 ) 2
	c n  =  2n  −  1

Für die Zahlenfolge (b_n) findet man keine eindeutige Bildungsvorschrift. Deshalb ist es auch hier nicht einfach, ein beliebiges Zahlenfolgeglied anzugeben, ohne die Vorgänger zu kennen.
Für die Folge (a_n) kann man eine Bildungsvorschrift angeben, die folgende Form hat. Dabei ist aber der Definitionsbereich zu beachten.

a n  +  1

=

a n

−

2,

a 1

=

6

Hier das erste Glied der Folge a₁ gegeben. Davon ausgehend erhält den Nachfolger a₂. a_n+1 stellt also immer der Vorgänger von a_n dar.
Im nächsten Abschnitt werden wir uns genauer mit diesen Bildungsvorschriften beschäftigen.
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Bei der Darstellung von Zahlenfolgen mit Hilfe von Bildungsvorschriften unterscheidet man grundsätzlich zwischen

• expliziten Bildungsvorschriften und
• rekursiven Bildungsvorschriften.

Bei einer expliziten Vorschrift hängt das allgemeine Glied a_n nur von n ab. Das bedeutet, dass jedes beliebige Glied der Zahlenfolge berechnet werden kann, solange wie nur die Nummer des Zahlenfolgeglieds bekannt ist. Nehmen wir ein Beispiel aus der ersten Abschnitt der Lektion. Die Gleichung c_n=n²-1 ist eine explizite Bildungsvorschrift, denn:
Das erste Zahlenfolgenglied hat mit n = 1 den zugeordneten Wert

c 1

=

1 2

−

1

=

0

Das fünfte Zahlenfolgenglied hat dann mit n = 5 den Wert

c 5

=

5 2

−

1

=

24

Genauso kann für jedes beliebige n durch Einsetzen das zugehörige a_n direkt berechnet werden.

Bei einer rekursiven Vorschrift muss zur Berechnung eines beliebigen Gliedes der Zahlenfolge stets sein unmittelbarer Vorgänger bekannt sein. Um das zehnte Glied der Folge zu berechnen, braucht man also das neunte Glied. Dafür muss man a₈ wissen usw. Daraus folgt, dass in der Bildungsvorschrift stets das erste Glied der Zahlenfolge gegeben sein muss. Dieser Wert a₁ wird deshalb auch als Startwert bezeichnet. Er ist Teil der Bildungsvorschrift. Ändert sich der Startwert, verändert sich auch die Zahlenfolge. Auch hier soll die Beispielfolge aus dem ersten Abschnitt der Lektion (a_n) verwendet werden. Allerdings soll der Definitionsbereich nicht eingeschränkt werden, so dass eine unendliche Folge entsteht. Die Bildungsvorschrift a_n+1=a_n-2; a₁=6 ist rekursiv, denn:
da a₁=6 ist, gilt für a₂=a₁-2=4.
Für a₃ gilt analog: a₃=a₂+2= 4-2 = 2.

Für viele Zahlenfolgen ist es möglich, beide Arten von Bildungsvorschriften zu verwenden. Die folgende Tabelle stellt zwei Zahlenfolge gegenüber, die stets die gleichen Werte für a_n besitzen. Die linke Bildungsvorschrift ist explizit, die rechte Vorschrift ist rekursiv.

 

Welche die günstigere oder einfachere Variante ist, hängt von der zu beschreibenden Folge ab. Im allgemeinen lassen sich Zahlenfolgen mit beiden Arten von Bildungsvorschriften beschreiben. Wie man beim Finden der Bildungsvorschrift vorgehen kann, wird im ersten Abschnitt der zu dieser Lektion gehörenden Beispielaufgaben dargestellt.

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Im dem gerade behandelten Beispiel in Abschnitt (B) fällt sicher auf, dass der Abstand zwischen benachbarten Zahlenfolgengliedern immer gleichgroß ist. Hier beträgt dieser Abstand gerade 2. Diese Zahl ergibt sich aus der Diffenenz zwischen zwei benachbarten Gliedern der Zahlenfolge. Also zum Beispiel

a 3

−

a 2

=

2

a 5

−

a 4

=

2

Daraus folgt allgemein
⇒ Definition arithmetische Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge (an) heißt arithmetische Zahlenfolge, wenn für jede natürliche Zahl n≥1 die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder stets gleich derselben reellen Zahl d ist: a n  +  1  −  a n  =  d   mit   n  ∈  N,   n  ≥  1   und   d  ∈  R

Aus dieser Definition ergibt sich für die arithmetische Zahlenfolge eine allgemeine, rekursive Form der Bildungsvorschrift. Es gilt:

a n  +  1

=

a n

+

d;

a 1

=

d

Von dieser Bildungsvorschrift ausgehend kann man auch eine allgemeine Bildungsvorschrift in expliziter Form herleiten. Die allgemeine Bildungsvorschrift für arithmetische Zahlenfolge in expliziter Form lautet also

a n

=

a 1

+

( n  −  1 )

·

d

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Wir betrachten die Zahlenfolge

( a n )

=

{

−

3;

−

6;

−

12;

−

24;

−

48;...}

Diese Folge ist eine unendliche Zahlenfolge. Um eine Bildungsvorschrift zu bestimmen, untersuchen wir benachbarte Glieder der Zahlenfolge. Die Differenz benachbarten Glieder ist nicht konstant. Die Beispielfolge ist deshalb keine arithmetische Folge. Aber man erkennt, dass sich der Betrag der Zahlenfolgeglieder jeweils verdoppelt. Wenn man den Quotienten zweier benachbarten Glieder bildet, erhält man

a 2 a 1

=

−  6  −  3

=

2

a 5 a 6

=

−  48  −  24

=

2

Daraus folgt allgemein
⇒ Definition geometrische Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge an heißt geometrische Zahlenfolge, wenn für jede natürliche Zahl n≥1 der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder stets gleich derselben reellen Zahl q ist: a n  +  1 a n  =  q   mit   n  ∈  N,   n  ≥  1,   q  ∈  R   und   a n  ≠  0

Auch kann man aus der Definition eine allgemeine, rekursive Bildungsvorschrift für geometrische Zahlenfolgen ableiten.

a n  +  1

=

a n

·

q;

a 1

=

k;

k

∈

R

Wir wollen auch hier die allgemeine Bildungsvorschrift in expliziter Form herleiten.

Die allgemeiner Form der expliziten Bildungsvorschrift lautet hier deshalb

a n

=

a 1

·

q n  −  1

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Eine Unterklasse geometrischer Zahlenfolgen sind die sogenannten alternierenden Zahlenfolgen. Diese entstehen für negative Faktoren q, q < 0. Der Unterschied wird an folgendem Beispiel deutlich:

a n

=

2

·

(  −  2 ) n  −  1

Bilden wir zunächst die ersten Glieder der Zahlenfolge:

Offensichtlich ändert sich bei diesen Zahlenfolgen zwischen benachbarten Gliedern der Zahlenfolge immer wieder das Vorzeichen. Dieser Effekt wird durch den negativen Faktor q = -2 verursacht. Denn immer dann, wenn der Exponent geradzahlig ist, wird die Potenz positiv. Ist der Exponent ungerade, ist auch der Wert der Potenz negativ.