- Beschränkte Zahlenfolgen
Zahlenfolgen haben im Unterschied zu normalen Funktionen ausschließlich natürliche Zahlen als Definitionsbereich. Diese Einschränkung führt dazu, dass Zahlenfolgen im allgemeinen immer ein kleinstes und/oder ein größtes Zahlenfolgeglied besitzen.
Betrachten wir das folgende Beispiel
In der Tabelle sind die ersten zehn Glieder der Zahlenfolge berechnet. Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht die Folge.a n = 2 4 − n + n2n an An der Wertetabelle und der Darstellung kann man erkennen, dass die Zahlenfolge nicht streng monoton ist. Es gilt: a n + 1 − a n ≤ 0 für n ≤ 4 ⇒ monoton fallend a n + 1 − a n ≥ 0 für n ≥ 5 ⇒ monoton steigend
Die kleinsten Glieder der Folge sind offenbar a4=a5=3.
Daraus folgt die Vermutung, dass die Zahlenfolge keine Glieder besitzt, die kleiner als 3 sind. Offenbar kann die Folge diesen Wert nicht unterschreiten. Deshalb nennt man alle reellen Zahlen, die kleiner gleich 3 sind untere Schranken su.
Ob die Zahl 8,5 tatsächlich das größte Glied der Zahlenfolge ist, kann man aus der Tabelle nicht mit Sicherheit entnehmen, denn ab a5 ist die Folge monoton wachsend. Die Glieder der Zahlenfolge werden deshalb immer größer.Wenn es aber ein größtes Glied der Folge gäbe, wären alle reellen Zahlen, die größer gleich diesem Wert sind, obere Schranken so.
1 8,5 2 5 3 3,5 4 3 5 3 6 3,25 7 3,625 8 4,0625 9 4,5313 10 5,0156 Welche Schlußfolgerungen können wir aus diesem Beispiel ziehen?
⇒ Definition Schranken einer Zahlenfolge
1. Durch Zahlenfolgen werden den natürlichen Zahlen n mit Hilfe einer Bildungsvorschrift reelle Zahlen an zugeordnet.
2. Es ist möglich, dass es reelle Zahlen gibt, die kleiner als das kleinste Glied der Zahlenfolge sind. In diesem Fall besitzt die Folge untere Schranken.
3. Ebenso können reelle Zahlen exisitieren, die größer sind als das größte Glied der Zahlenfolge. Diese Zahlen nennt man dann obere Schranken.
4. Wenn eine Zahlenfolge Schranken besitzt, dann existieren unendlich viele untere (obere) Schranken.
Damit soll zuerst der Begriff Schranken einer Zahlenfolge definiert werden.
Das obige Beispiel hat uns auch schon gezeigt, dass das Monotonieverhalten von Folgen Einfluss darauf hat, ob eine Zahlenfolge beschränkt ist oder nicht. Das führt zu folgendem Satz.Eine reelle Zahl heißt untere Schranke su einer Zahlenfolge (an), wenn für jedes n gilt: su ≤ an obere Schranke so so ≥ an Eine Zahlenfolge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
⇒ Satz Beschränktheit monotoner Zahlenfolgen(1) Jede monoton wachsende Zahlenfolge ist nach unten beschränkt. (2) Jede monoton fallende Zahlenfolge ist noch oben beschränkt. Dieser Satz folgt direkt aus den Eigenschaften monotoner Zahlenfolgen. Für Satz (1) soll das kurz begründet werden.
Ist eine Zahlenfolge monoton wachsend, so gilt im Defintionsbereich der Folge die Bedingung:
Damit ergibt sich:a n + 1 − a n ≥ 0 oder a n + 1 ≥ a n
a1 ist also das kleinste Glied der Zahlenfolge und jede Zahl, die kleiner oder gleich a1 ist, muss deshalb eine untere Schranke sein.a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ ...
Analog kann man eine solche Überlegung für Satz (2) anstellen. Im Beispiel haben wir die Existenz von Schranken aus einer Wertetabelle und der grafischen Darstellung abgeleitet. Die Existenz oberer Schranken konnten wir so jedoch nicht klären. Nun stellt sich natürlich die Frage, wie man überprüfen kann, ob eine Zahlenfolge beschränkt ist. Betrachten wir dazu ein weiteres Beispiel.Gegeben ist die Folge (an) durch die Bildungsvorschrift
Wertetabelle der Zahlenfolgeglieder a1 bis a7.( a n ) = ( n − 5 ) 2 − 5. n an 1. Vermutung: Die Folge ist nicht nach oben beschränkt, da die Folge ab a5 monoton wachsend ist.
2. Vermutung: Die Folge ist nach unten beschränkt, da a5 das kleinste Glied der Zahlenfolge ist.Um die Existenz von Schranken zu ermitteln, wenden wir den obigen Satz an, wodurch zwei Ungleichungen entstehen. obere Schranken mit so = 11 a n ≤ s o untere Schranken mit su = -5 a n ≥ s u ( n − 5 ) 2 − 5 ≤ 11 ( n − 5 ) 2 − 5 ≥ − 5 | + 5 n 2 − 10n + 25 − 5 ≤ 11 ( n − 5 ) 2 ≥ 0 | √ ( ) n 2 − 10n + 20 ≤ 11 | − 11 1. Fall : n − 5 ≥ 0 ⇒ n ≥ 5 n 2 − 10n + 9 ≤ 0 2. Fall : − ( n − 5 ) ≥ 0⇒ n ≤ 5 n 1 ≤ 9 n 2 ≥ 1 ⇒ Die Ungleichung gilt also nur für alle n mit 1 ≤ n ≤ 9. Ab n≥10 gilt die Ungleichung nicht mehr, also kann 11 keine obere Schranke sein.⇒ Die Ungleichung gilt für alle n mit n∈N*. Deshalb ist die Folge nach unten beschränkt mit su≤-5 1 11 2 4 3 -1 4 -4 5 -5 6 -4 7 -1
Trotzdem ist die betrachtete Zahlenfolge laut Definition keine beschränkte Zahlenfolge, da sie nur untere Schranken besitzt.Fassen wir zusammen:
- Jede monotone Zahlenfolgen besitzt ein kleinstes bzw. größtes Zahlenfolgeglied.
- Zahlen, die kleiner gleich bzw. größer gleich diesem Glied der Zahlenfolge sind, nennt man Schranken.
- Zahlenfolgen, die sowohl obere als auch untere Schranken besitzen, bezeichnet man als beschränkt.
- Eine beschränkte Zahlenfolge hat immer unendlich viele Schranken.
- Grenzen von Zahlenfolgen
Wir haben soeben nachgewiesen, dass die Zahlenfolge
(an)=(n-5)2-5 nach unten beschränkt ist, denn es gilt:
Da die Zahl -5 ist dabei die größte untere Schranke darstellt, bezeichnet man sie als untere Grenze.s u = − 5 ≤ a n
Analog kann man zeigen, dass nach oben beschränkte Zahlenfolgen eine kleinste obere Schranke besitzen, die man dann als obere Grenze bezeichnet.Dazu können Sie die Beispielfolge (an)=24-n aus der LektionMonotonie von Zahlenfolgen noch einmal betrachten. Hier wurde nachgewiesen, dassa1 = 8 ist das größte Glied der Zahlenfolge ist, sodass gilt: so ≥ 8. Die Zahl 8 nennt man obere Grenze.Das führt zu folgender Definition.
⇒ Grenzen von Zahlenfolgen
Um das Problem der Bestimmung von Schranken und Grenzen zu veranschaulichen, soll ein Beispiel einer Zahlenfolge betrachtet werden.Ist (an) eine nach oben beschränkte Folge, so heißt die kleinste obere Schranke die obere Grenze dieser Zahlenfolge. nach unten beschränkte größte untere Schranke die untere Grenze Gegeben ist die ZahlenfolgeDas letzte Beispiel zeigt, dass die Bestimmung von Grenzen auch bei monotonen Zahlenfolgen nicht immer offensichtlich ist. Deshalb wollen wir im Folgenden eine Methode einführen, mit der nachgewiesen werden kann, ob eine Zahlenfolge beschränkt ist und Grenzen existieren.
Berechnen wir zunächst einige Glieder dieser Folge.( a n ) = nn + 1
Die Folge ist offenbar streng monoton wachsend. (Der rechnerische Nachweis ist nicht schwer.) Deshalb muss es untere Schranken geben. Diese können wir ohne weiteres ablesen, denn es gilt: su≤1/2. Also sind alle Zahlen kleiner oder gleich 0,5 untere Schranken. Die Zahl 0,5 ist die größte untere Schranke und deshalb auch die untere Grenze.a 1 = 12; a 2 = 23; a 3 = 34; a 4 = 45; ... Bleibt die Frage, ob es auch obere Schranken gibt, obwohl die Folge monoton wachsend ist? Da in der Bildungsvorschrift der Zähler immer kleiner als der Nenner ist, wird der Bruch auch immer kleiner als 1 sein. Angenommen, es gelte: so≥0,9. Dann müsste gemäß Definition gelten:
1. Annahme: so = 0,9 2. Annahme: so = 0,95 0,9 ≥ nn + 1 ⇒ 0,9 · ( n + 1 ) ≥ n 0,9n + 0,9 ≥ n | − 0,9n 0,9 ≥ 0,1n | : 0,1 9 ≥ n 0,95 ≥ nn + 1 ⇒ 0,95 · ( n + 1 ) ≥ n 0,95n + 0,95 ≥ n | − 0,95n 0,95 ≥ 0,05n | : 0,05 19 ≥ n Aus dem Ergebnis folgt, dass 0,9 keine obere Schranke sein kann, da für n>10 alle an größer als 0,9 sind.Auch 0,95 ist keine obere Schranke, da für n>19 alle an größer als 0,95s sind.
zurück - Grenzwertbestimmung
Im letzten Beispiel haben wir versucht, durch geeignete Annahmen die Beschränktheit der Zahlenfolge (an) nachzuweisen, was uns allerdings nicht gelungen ist. Allerdings können wir leicht begründen, dass die Zahl 1 wahrscheinlich die gesuchte obere Grenze sein dürfte. Denn obwohl die Folge monoton wachsend ist, können die Glieder der Folge nicht größer als 1 werden. Es gibt aber auch kein an das genau 1 ist. Eine solche Zahl bezeichnet man als Grenzwert.
Um den rechnerischen Nachweis zu füren, benötigen wir noch etwas Theorie.
⇒ Definition ε-Umgebung
⇒ Satz GrenzwertIst g eine beliebige Zahl und ε eine beliebige (kleine) positive reelle Zahl, so nennt man das offene Intervall Uε(g)=]g-ε ; g+ε[ die ε-Umgebung der Zahl g. Eine Zahl g heißt genau dann Grenzwert einer Zahlenfolge an, wenn in jeder ε-Umgebung von g unendlich viele Glieder der Folge liegen, aber außerhalb nur endlich viele, d.h. wenn für alle an die Ungleichung |an - g| < ε gilt. Dieses Verhalten der Zahlenfolge bezeichnet man als Konvergenz. Die Zahl Null, an die sich die Zahlenfolge annähert, heißt in diesem Fall Grenzwert der Zahlenfolge.
Diese beiden Aussagen sind eigentlich gar nicht so schwer zu verstehen, wenn man versucht, sich das Problem zu veranschaulichen. Fangen wir mit der Definition der ε-Umgebung an und betrachten die Beispielfolge(an) = 24-n , die in der Abbildung auch dargestellt ist.
ε-Umgebung
Zur Festlegung einer ε-Umgebung benötigen wir zunächst zwei Zahlen: g und ε. Da wir diese Zahlen beliebig wählen können, wollen wir zwei Beipiele verwenden.In der Abbildung sind die beiden ε-Umgebungen ebenfalls farbig hervorgehoben, wobei die Linien selbst schon nicht mehr zum Intervall gehören, da die Intervalle offen sind.
1. Beispiel:g = 2 und ε = 0,5
2. Beispiel:g = 0 und ε = 0,5
Nun bilden wir die in der Definition beschriebenen offenen Intervalle und erhalten:
1. Beispiel: U0,5(2) = ]2-0,5; 2+0,5[ = ]1,5; 2,5[
2. Beispiel: U0,5(0) = ]0-0,5; 0+0,5[ = ]-0,5; 0,5[Grenzwert
⇒ Definition Konvergenz
Betrachten wir zuerstdie blau dargestellte ε-Umgebung U0,5(2). Wir sehen, dass das Zahlenfolgeglied a2 in diesem Bereich liegt. Alle Vorgänger, aber auch alle Nachfolger liegen außerhalb dieses Streifens. Es gibt also nur endlich viele an innerhalb der ε-Umgebung, aber unendlich viele außerhalb. Deshalb ist die Zahl 2 kein Grenzwert.
Anders verhält sich das bei der rot dargestellten ε-Umgebung U0,5(0). Hier liegen ab a5 alle Glieder der Zahlenfolge in diesem Bereich. Deshalb können wir annehmen, dass die Glieder der Zahlefolge diese ε-Umgebung nicht wieder verlassen. Es gibt also nur endlich viele an aßerhalb der ε-Umgebung, aber unendlich viele innerhalb des Intervalls. Deshalb ist die Zahl 0 Grenzwert der Zahlenfolge.Eine Zahlenfolge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent . Zahlenfolgen ohne Grenzwert nennt man divergent. Bleibt noch zu klären, wie man auf diese Grenzwerte kommt.
Um die Zahl g abzuschätzen, kann man eine Wertetabelle verwenden. In unserem Beispiel war gut zu erkennen, dass sich die Glieder der Zahlenfolge dem Wert Null annähern. Der Nachweis erfolgt dann mit Hilfe der ε-Umgebung, wobei man die Zahl ε stets kleiner als 1 wählen sollte.
Der rechnerische Nachweis erfolgt durch Lösen der Ungleichung des Grenzwertsatzes, wobei auf die Betragsstriche zu achten ist. Das folgende Beispiel zeigt die Berechnung für beide vermuteten Werte von g.Vermutung 1: g = 2 mit ε = 0,5 |2 4 − n − 2|<ε Fall 1: an - g < ε Fall 2: - (an - g ) < ε Das ist im Bild der Bereich oberhalb der schwarzen gestrichelten Linie. Das ist im Bild der Bereich unterhalb der schwarzen gestrichelten Linie. 2 4 − n − 2 < 0,5 | +2 2 4 − n < 2,5 4 - n < log 2 2,5 | +n 4 < 1,32 + n | -1,32 2,68 < n − ( 2 4 − n − 2 ) < 0,5 | ⋅(-1) 2 4 − n > -0,5 | +2 2 4 − n > 1,5 4 - n > log 2 1,5 | +n 4 > 0,58 + n | -0,58 3,42 > n Ergebnis: Es existiert nur eine natürliche Zahl die beide Ungleichungen erfüllt: n = 3.
⇒ g = 2 ist kein Grenzwert der Zahlenfolge (an).Vermutung 2: g = 0 mit ε = 0,5 |2 4 − n − 0|<ε Fall 1: an - g < ε Fall 2: - (an - g ) < ε 2 4 − n < 0,5 4 − n < log 2 0,5 4 < -1 + n | +1 5 < n − ( 2 4 − n ) > 0,5 | · ( − 1 ) 2 4 − n > − 0,5 4 − n > log 2 ( − 0,5 ) ⇒ nicht definiert Ergebnis: Die Ungleichung gilt für alle natürliche Zahlen n mit n > 5
⇒ g = 0 ist Grenzwert der Zahlenfolge (an).Weitere Beispiele berechnen wir in den Beispielaufgaben zu dieser Lektion. Sollte das Lösen der Ungleichungen für den einen oder anderen nicht ganz so einfach gewesen sein, kann man auf den Seiten Gleichungen und Beträge genaueres nachlesen.