Zahlenfolgen stellen Zuordnungen dar, die den natürlichen Zahlen n reelle Zahlen a_n (Glied der Zahlenfolge) zuweisen. Obwohl der Definitionsbereich mit n∈N* (das bedeutet n≥1) im allgemeinen nicht eingeschränkt ist, ergibt sich daraus nicht, dass der Wertebereich mit a_n∈R ebenfalls keine Einschränkung hat. In der Lektion zu Schranken und Grenzen von Zahlenfolgen haben wir gezeigt. Deshalb wurden die Begriffe Grenzen und Grenzwerte von Zahlenfolge definiert. Zur Erinnerung soll die Grenzwertdefinition hier noch mal wiederholt werden.
⇒ Satz Grenzwert

Eine Zahl g heißt genau dann Grenzwert einer Zahlenfolge an, wenn in jeder ε-Umgebung von g unendlich viele Glieder der Folge liegen, aber außerhalb nur endlich viele, d.h. wenn für alle an die Ungleichung |an - g| < ε gilt.

Den Grenzwert bezeichnet man auch als Limes, kurz lim geschrieben. Damit ergibt sich die folgende Schreibweise für Grenzwerte.

lim n→∞   a n  =  g

lies: Limes von an für n gegen Unendlich ist g

Bezugnehmend auf das letzte Beispiel vorangegangenen Lektion schreibt man also kurz:

lim n→∞

2 4  −  n

=

0

Man liest: Der Grenzwert der Zahlenfolge (a_n)=2^4-n für n gegen Unendlich ist Null.

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Für die Berechnung von Grenzwerten ist zunächst der Begriff Nullfolge von großer Bedeutung.

⇒ Definition Nullfolge

Die Folge an heißt Nullfolge genau dann, wenn es zu jeder Zahl ε > 0 eine Nummer n0 gibt, so dass für alle Folgeglieder mit n > n0 gilt: |an| < ε. Die Folge konvergiert gegen Null. lim n→∞   a n  =  0

Beispiele für solche Nullfolgen lassen sich zahlreich finden.

a n  =  3 n 2	b n  =  1 n  +  1	c n  =   −  6 5n 6
Um das Verhalten der genannten Beispielfolgen zu veranschaulichen, kann man für ein beliebiges Intervall die Werte der Zahlenfolgen berechnen lassen. Legen Sie einfach die Intervallgrenzen fest und betrachten Sie die angegebene Wertetabelle. nmin = nmax =
a =	b =1	c =

In allen drei Beispielen zeigt sich, dass sich die Glieder der Folgen dem Wert Null immer mehr annähern, ihn aber nicht erreichen können. Für die Folge (a_n) wollen wir den Nachweis entsprechend der Definition führen.

Betrachtet man die Beispielfolgen etwas genauer, stellt man fest, dass Nullfolgen im Allgemeinen eine bestimmte Struktur aufweisen. Vereinfacht könnte man folgenden Regel für Nullfolgen annehmen:
Immer dann, wenn in einem Bruch der Nenner schneller wächst als der Zähler, entstehen Nullfolgen. zurück

In allen Beispielen, die wir bisher betrachtet haben, wurde der Grenzwert dadurch ermittelt, dass mit Hilfe einer Wertetabelle ein Abschätzung vorgenommen wurde. Dieses Verfahren ist natürlich nicht ausreichend, um den Grenzwert mit mathematischen Mitteln zu bestimmen. In diesem Abschnitt wollen wir nun eine Möglichkeit zur mathematischen Berechnung von Grenzwerten erörtern. Dabei wenden wir die Definition der Nullfolge an, die als gegeben betrachtet wird.
Wir verwenden für die folgenden Berechnungen die Beispielfolge

a n

=

2n 2  −  3n  +  7 n 2  +  n

Die Abbildung zeigt den graphischen Verlauf der Bildungsvorschrift und führt zu der Vermutung, dass sich die Zahlenfolge dem Wert 2 annähert und demzufolge den Grenzwert g = 2 besitzt. Der Nachweis soll mit Hilfe der ε-Umgebung erbracht werden. Wir nehmen im Beispiel den Wert ε = 0,1 an. Da die Zahlenfolge ab dem dritten Glied monoton wachsend ist und sich die Glieder der Folge von unten dem Grenzwert nähern, soll nur der Fall -(a_n - g) < ε betrachtet werden.

Ab dem 48. Glied der Zahlenfolge liegen also alle a_n innerhalb der ε-Umgebung. Also gilt der Grenzwert g = 2.

Nun soll der Grenzwert g mittels der neuen Schreibweise direkt berechnet werden.

Die Vorgehensweise zur Berechnung der Grenzwert von Zahlenfolgen für n gegen Unendlich kann auf fast alle Zahlenfolgen. Deshalb sollen die einzelnen Schritte noch einmal zusammengefasst werden.

→ Im Zähler und Nenner wird jeweils die größte Potenz von n ausklammert. Die Faktoren, die ausgeklammert werden, müssen nicht gleich sein.
→ Die ausgeklammerten Faktoren werden gekürzt.
→ Die in den Klammern entstandenen Nullfolgen werden weggelassen.
→ Man berechnet den Wert des Restterms.

Ist der Grenzwert einer Zahlenfolge eine reele Zahl, so ist die Zahlenfolge laut Definition konvergent. Da es aber auch Zahlenfolgen gibt, die divergent sind, muss also nicht in jedem Fall eine reele Zahl das Ergebnis der Berechnung sein. Das folgende Beispiel zeigt das.

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Die Grenzwertsätze haben wir bei der Berechnung der Grenzwerte unbewusst schon angewendet. Deshalb werden sie hier nur genannt. Sie dienen der Vereinfachung von Grenzwertberechnungen. Grenzwertberechnungen von Zahlenfolgen bzw. Funktionen, die aus zusammengesetzten Termen bestehen.
⇒ Grenzwertsätze

Es sei an eine Zahlenfolge mit dem Grenzwert a und bn eine Zahlenfolge mit dem Grenzwert b. Dann gilt:

lim n→∞ ( a n  +  b n )  =  lim n→∞ a n  +  lim n→∞ b n Der Grenzwert einer Summe von Zahlenfolgen ist gleich der Summe der Grenzwerte dieser Zahlenfolgen. lim n→∞ ( a n  −  b n )  =  lim n→∞ a n  −  lim n→∞ b n Der Grenzwert der Differenz von Zahlenfolgen ist gleich der Differenz der Grenzwerte dieser Zahlenfolgen. lim n→∞ ( a n  ·  b n )  =  lim n→∞ a n  ·  lim n→∞ b n Der Grenzwert des Produktes von Zahlenfolgen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Zahlenfolgen. lim n→∞ ( a n b n )  =  lim n→∞ a n lim n→∞ b n Der Grenzwert des Quotienten zweier Zahlenfolgen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Zahlenfolgen.

Diese Grenzwertsätze werden sehr häufig angewendet, ohne dass jedesmal darauf verwiesen werden muss. Es gibt auch einige Regeln für Grenzwertberechnungen komplizierterer Terme, die zum Beispiel trigonometrische Beziehungen oder den Logarithmus enthalten. Auf diese Regeln kommen wir aber erst später zu sprechen, wenn wir uns speziell mit Grenzwerten von Funktionen beschäftigen.

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