1. Partialsummen und Zahlenreihen
    1. Was ist eine Partialsumme?
      In der Lektion Zahlenfolgen haben wir als einführendes Beispiel die Zahlenfolge
      a n
      		  =  2n  +  1
      verwendet. Die Glieder dieser Folge lauten
      a n
      		  =  {3;   5;   7;   9;   11;   13;   15;   17;   19;   21;   ...}.
      Mit Hilfe der Zahlen, die Glieder der Zahlenfolge sind, kann man durch Summenbildung neue Zahlen bilden. Aus der hier verwendeten Zahlenfolge erhält man zum Beispiel:
      s 3
      		  = 
      a 1
      		  + 
      a 2
      		  + 
      a 3
      		  =  3  +  5  +  7  =  15   →   Da   wir   die   ersten   drei   Glieder   der   Zahlenfolge   addiert   haben,   erhält   man   die   dritte   Partialsumme  
      s 3.
      oder
      s 6
      		  = 
      a 1
      		  + 
      a 2
      		  + 
      a 3
      		  + 
      a 4
      		  + 
      a 5
      		  + 
      a 6
      		  =  3  +  5  +  7  +  9  +  11  +  13  =  46   →   Da   wir   die   ersten   sechs   Glieder   der   Zahlenfolge   addiert   haben,   erhält   man   die   sechste   Partialsumme  
      s 6.
      Die Schreibweise der Partialsummen ist natürlich sehr umständlich. Deshalb wurde bereits im 19. Jahrhundert von Leonhard Euler die Schreibweise mit Hilfe des Summenzeichens Σ eingeführt. Die oben genannten Beispielsummen schreibt man folgendermaßen.
      s 3
      		  = 
      3
      Σ
      k  =  1
      		 
      ( 2k  +  1 )
      		  →   sprich  :  Summe   von   2k  +  1   von   k  =  1   bis   k  =  3
      bzw.
      s 6
      		  = 
      6
      Σ
      k  =  1
      		 
      ( 2k  +  1 )
      		  →   sprich  :  Summe   von   2k  +  1   von   k  =  1   bis   k  =  6
      Die Zahlen unterhalb und oberhalb des Summenzeichens geben also an, welche Zahlen der Index k durchlaufen soll. So kann man mit Hilfe des Summenzeichens beliebige Bereiche der Glieder einer Zahlenfolge zusammenfassen. Hier noch zwei Beispiele:
      n
      Σ
      k  =  1
      		 
      ( 2k  +  1 )
      		  →   Diese   Summe   umfasst   alle   Glieder   der   Zahlenfolge.
      n
      Σ
      k  =  m
      		 
      ( 2k  +  1 )
      		 = 
      a m
      		  + 
      a
      m  +  1
      		 + 
      a
      m  +  2
      		 +  ...  + 
      a n,
      		   wobei   m,n  ∈  Z   und   m<n
      Nach diesen einführenden Beispielen wollen wir nun den Begriff Partialsumme definieren.
      ⇒ Definition Partialsumme
      Ist (an) eine Zahlenfolge, so heißt die Summe der ersten n Glieder der Folge
      s n
      		  = 
      a 1
      		  + 
      a 2
      		  + 
      a 3
      		  + 
      ...a n
      		  = 
      n
      Σ
      k  =  1
      		 
      a k
      die n-te Partialsumme von (an).
      Bevor wir inhaltlich weitergehen, soll die Verwendung des Summenzeichens und die Schreibweise von Partialsummen an einigen Beispielen dargestellt werden.
      Einfache Partialsummen berechnet man durch Einsetzen der für die Indexvariable definierten Zahlen.
      1. Beispiel:
      6
      Σ
      m  =  3
      		 
      ( 4m  −  1 )
      		 = 
      ( 4  ·  3  −  1 )
      		 + 
      ( 4  ·  4  −  1 )
      		 + 
      ( 4  ·  5  −  1 )
      		 + 
      ( 4  ·  6  −  1 )
      		 =  11  +  15  +  19  +  23  =  68

      2. Beispiel:
      4
      Σ
      n  =  0
      		 
      (  −  1 )
      		n
      		  · 
      3 n
      		  = 
      (  −  1 )
      		0
      		  · 
      3 0
      		  + 
      (  −  1 )
      		1
      		  · 
      3 1
      		  + 
      (  −  1 )
      		2
      		  · 
      3 2
      		  + 
      (  −  1 )
      		3
      		  · 
      2 3
      		  + 
      (  −  1 )
      		4
      		  · 
      3 4
      		  =  1  + 
      (  −  3 )
      		 +  9  + 
      (  −  27 )
      		 +  81  =  61
      Im zweiten Beispiel ist die verwendete Zahlenfolge alternierend, sodass die Summanden der Partialsumme wechselnde Vorzeichen besitzen.

      Es gibt auch Partialsummen, für die unterschiedliche Schreibweisen verwendet werden können.
      1. Beispiel

      5
      Σ
      n  =  0
      		 
      n  · 
      ( n  +  1 )
      2
      		  = 
      0  +  2  +  6  +  12  +  20  +  30
      2
      		  =  35  = 
      6
      Σ
      n  =  1
      		 
      ( n  −  1 )
      		 ·  1
      2
      2. Beispiel
      3
      Σ
      k  =  1
      		 
      2
      k
      		  = 
      2
      1
      		  + 
      2
      2
      		  + 
      2
      3
      		  =  2  · 
      ( 1  + 
      1
      2
      		  + 
      1
      3
      		 )
      		 =  2  · 
      3
      Σ
      k  =  1
      		 
      1
      k
      		  = 
      11
      3
      3. Beispiel
      3
      Σ
      a  =  1
      		 
      ( 2a  + 
      a 2
      		 )
      		 =  3  +  8  +  15  = 
      ( 2  +  4  +  6 )
      		 + 
      ( 1  +  4  +  9 )
      		 = 
      3
      Σ
      a  =  1
      		  2a  + 
      3
      Σ
      a  =  1
      		 
      a 2
      		  =  26


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    2. Partialsummen arithmetischer Folgen
      In der Lektion zu Zahlenfolgen haben wir gesehen, dass es spezielle Zahlenfolgen gibt, die besondere Eigenschaften besitzen, Dazu geören u.a. arithmetische Zahlenfolgen, die sich dadurch auszeichnen, dass sich zwei benachbarte Glieder der Folge stets um den gleichen Summanden d unterscheiden. Betrachten wir als Beispiel die Zahlenfolge
      a n
      		  = 
      5;   7;   9;   11;   13;   ...
      Diese Zahlenfolge kann durch eine rekursive, aber auch eine explizite Bildungsvorschrift dargestellt werden. Man erhält:
      rekursiv  : 
      a
      n  +  1
      		 = 
      a n
      		  +  2;  
      a 1
      		  =  5
      bzw.
      explizit  : 
      a n
      		  =  3  +  2n
      Nun bilden wir für diese Zahlenfolgen die ersten fünf Partialsummen.
      s 1
      		  = 
      1
      Σ
      k  =  1
      		 =  5
      s 2
      		  = 
      2
      Σ
      k  =  1
      		 =  5  +  7  =  12
      s 3
      		  = 
      3
      Σ
      k  =  1
      		 =  5  +  7  +  9  =  21
      s 4
      		  = 
      4
      Σ
      k  =  1
      		 =  5  +  7  +  9  +  11  =  32
      s 5
      		  = 
      5
      Σ
      k  =  1
      		 =  5  +  7  +  9  +  11  +  13  =  45
      Wenn wir die Partialsummen weiter immer aufschreiben, erhalten wir auch die n-te Partialsumme, wobei wir die explizite Bildungsvorschrift verwenden.
      s n
      		  = 
      n
      Σ
      k  =  1
      		 =  5  +  7  +  9  +  11  +  13  +  ...  + 
      ( 3  +  2
      ( n  −  2 )
      		)
      		 + 
      ( 3  +  2
      ( n  −  1 )
      		)
      		 + 
      ( 3  +  2n )
      Diese allgemeine Ergebnis ist aber von n abhängig. Die Form des Ergebnisses ändert sich, wenn wir die rekursive Bildungsvorschrift verwenden. Dann erhalten wir für die n-te Partialsumme folgende Formel.
      s n
      		  = 
      n
      Σ
      k  =  1
      		 =  5  + 
      ( 5  +  1  ·  2 )
      		 + 
      ( 5  +  2  ·  2 )
      		 + 
      ( 5  +  3  ·  2 )
      		 +  ...  + 
      ( 5  + 
      ( n  −  2 )
      		 ·  2 )
      		 + 
      ( 5  + 
      ( n  −  1 )
      		 ·  2 )
      		 + 
      ( 5  +  n  ·  2 )
      		 =  5  ·  n  + 
      n
      Σ
      k  =  1
      		 
      ( n  −  1 )
      		 ·  2  =  5n  +  2  · 
      n
      Σ
      k  =  1
      		 
      ( n  −  1 )
      Die Vereinfachung ergibt sich, indem wir den gemeisame Summanden Summanden 5 (also a1)ausklammer, der in der Summe n-mal vorkommt. Ebenso den Summanden 2 (also d) ausklammern, der aber nur (n+1)-mal auftaucht.. Dieses Verfahren verwendete bereits Carl Friedrich Gauss, um Partialsummen zu berechnen. Eine Verallgemeinerung des Verfahrens führt zu folgendem Ergebnis.
      ⇒ Satz Partialsummen arithmetischer Zahlenfolgen
      Ist (an) eine arithmetische Zahlenfolge mit der Differenz d, so gilt für deren n-te Partialsumme
      s n
      		  = 
      n
      Σ
      k  =  1
      		 
      (
      a 1
      		  + 
      ( k  −  1 )
      		 ·  d )
      		 = 
      n
      2
      		  · 
      (
      a 1
      		  + 
      a n
      		   )
      Der Beweis dieses Satzes erfolgt mit der Verfahren der vollständigen Induktion. Dieses Beweisverfahren wird in der nächsten Lektion behandelt. Deshalb soll an dieser Stelle auf den Beweis verzichtet werden.
      Wir wollen die Gültigkeit der Formel aber an unserem Beispiel überprüfen.
      s 3
      		  =  
      3
      Σ
      k  =  1
      		 
      ( 5  + 
      ( k  −  1 )
      		 ·  2 )
      		 = 
      3
      2
      		  · 
      ( 5  +  9 )
      		 =  21
      s 5
      		  =  
      5
      Σ
      k  =  1
      		 
      ( 5  + 
      ( k  −  1 )
      		 ·  2 )
      		 = 
      5
      2
      		  · 
      ( 5  +  13 )
      		 =  45
      Sie können nun ein beliebiges n≥1 eingeben und die entsprechende Partialsumme berechnen lassen.
      n =  

      Mit den folgenden Eingaben lassen sich für beliebige arithmetische Zahlenfolgen entsprechende Partialsummen berechnen. Geben Sie ein beliebigen Wert d, ein Anfangsglied a1 und ein beliebiges n≥1 ein, um die entsprechende Partialsumme zu berechnen. Es gilt: a1, d ∈ Z
      Anfangsglied a1 = Differenz d = Nummer der Partialsumme k =

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    3. Partialsummen geometrische Folgen
      Während sich bei arithmetischen Zahlenfolgen benachbarte Glieder der Folge stets um die gleiche Differenz unterscheiden, ergeben sich benachbarter Folgeglieder geometrischer Folgen durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor q. Auch für diese Folgen kann man eine Formel zur Berechnung der n-ten Partialsumme herleiten.
      ⇒ Satz Partialsummen geometrischer Zahlenfolgen
      Ist (an) eine geometrische Zahlenfolge mit der Faktor q≠1, so gilt für deren n-te Partialsumme
      s n
      		  = 
      n
      Σ
      k  =  1
      		 
      a 1
      		  · 
      q
      n  −  1
      		 = 
      a 1
      		  · 
      q n
      		  −  1
      q  −  1
      Betrachten wir als Beispiel die Zahlenfolge
      a n
      		  =  3  · 
      2
      n  −  1
      		 =  {3;   6;   12;   24;...}
      Dann erhalten wir für die ersten vier Partialsummen folgende Werte. Durch Anwenden der Formel ergibt sich:
      s 1
      		  =  3
      s 1
      		  =  3  · 
      2 1
      		  −  1
      2  −  1
      		 =  3  ·  1  =  3
      s 2
      		  =  3  +  6  =  9
      s 2
      		  =  3  · 
      2 2
      		  −  1
      2  −  1
      		 =  3  ·  3  =  9
      s 3
      		  =  3  +  6  +  12  =  21
      s 3
      		  =  3  · 
      2 3
      		  −  1
      2  −  1
      		 =  7  ·  1  =  21
      Um eine beliebige Partialsumme zu berechnen, können Sie einen Index m≥1 wählen.
      m =  
      Mit den folgenden Eingaben lassen sich für beliebige geometrische Zahlenfolgen entsprechende Partialsummen berechnen. Geben Sie ein beliebigen Wert q, ein Anfangsglied a1 und ein beliebiges n≥1 ein, um die entsprechende Partialsumme zu berechnen. Es gilt: a1, q ∈ Z
      Anfangsglied a1 = Faktor q = Nummer der Partialsumme k =

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    4. Reihen
      Ausgehend von einer beliebigen Zahlenfolge (an) können wir für jede natürliche Zahl n eine eindeutig bestimmte Partialsumme sn bilden. Daraus entsteht eine Folge von Partialsummen. Diese nennt man Zahlenreihe oder kurz Reihe. Das führt uns zu folgender Definition.
      ⇒ Definition Zahlenreihe
      Ist (an) = {a1; a2; a3;...} eine Zahlenfolge, so heißt a1+a2+a3+...+an+... unendliche Reihe oder kurz Reihe. Man schreibt dafür:
      (
      s n
      		 )
      		 = 
      ∞
      Σ
      k  =  1
      		 
      a k
      Man versteht darunter die Folge der Partialsummen
      (
      s n
      		 )
      		 = 
      n
      Σ
      k  =  1
      		 
      a k
      		  = 
      a 1
      		  + 
      a 2
      		  + 
      a 3
      		  +  ...  + 
      a n
      		  +  ...
      Um das einem Beispiel zu veranschaulichen, verwenden wir die letzte verwendete Zahlenfolge.
      a n
      		  =  3  · 
      2
      n  −  1
      Für die sich darauf ergebende Reihe erhalten wir:
      s n
      		  =  {3;   9;   21;   45;   ...;   3  · 
      (
      2 n
      		  −  1 )
      		}
      Das Summensymbol Σ hat hier also zwei Bedeutungen. Zum einen beschreibt es die Reihe, also die Folge der Partialsummen, zu anderen bezeichnet es die Summe dieser Reihe, also den Grenzwert dieser Partialsummenfolge.

      Eine besondere Rolle spielen in diesem Zusammenhang geometrische Zahlenfolgen. Die explizite Bildungsvorschrift dieser Folgen lautet:

      a n
      		  = 
      a 1
      		  · 
      q
      n  −  1
      Daraus folgt die Folge
      (
      a 1;
      		  
      a 1
      		  ·  q;  
      a 1
      		  · 
      q 2;
      		  
      a 1
      		  · 
      q 3;
      		  
      ...;a n
      		  · 
      q
      n  −  1
      		)
      Bildet man die Folge der Partialsummen, so erhält man
      s 1
      		  = 
      a 1
      s 2
      		  = 
      a 1
      		  + 
      a 1
      		  ·  q
      s 3
      		  = 
      a 1
      		  + 
      a 1
      		  ·  q  + 
      a 1
      		  · 
      q 2
      s n
      		  = 
      a 1
      		  + 
      a 1
      		  ·  q  + 
      a 1
      		  · 
      q 2
      		  +  ...  + 
      a 1
      		  · 
      q
      n  −  1
      Da die Folge der Partialsummen aus einer geometrischen Folge entstanden ist, bezeichnet man diese auch als geometrische Reihe., für die gilt:
      ∞
      Σ
      k  =  1
      		  a  · 
      q
      k  −  1
      		 = 
      a 1
      		  + 
      a 1
      		  ·  q  + 
      a 1
      		  · 
      q 2
      		  +  ...  + 
      a 1
      		  · 
      q
      n  −  1
      		 +  ...
      Diese Reihen sind unter bestimmten Bedingungen konvergent.
      ⇒ Satz Konvergenz geometrischer Reihen
      Die geometrische Reihe
      ∞
      Σ
      k  =  1
      		  a  · 
      q
      k  −  1
      		ist konvergent genau dann, wenn
      |q|  <  1
      		ist.
      Die Summe der konvergenten geometrischen Reihe ist
      s  = 
      ∞
      Σ
      k  =  1
      		  a  · 
      q
      k  −  1
      		 = 
      a
      1  −  q
      ⇒ Beweis
      Aus dem Satz zu Partialsummen geometrischer Zahlenfolgen folgt:
      s n
      		  =  a  +  aq  + 
      aq 2
      		  + 
      aq 3
      		  + 
      ...aq
      n  −  1
      		 =  a  · 
      q n
      		  −  1
      q  −  1
      		 = 
      a
      q  −  1
      		 · 
      (
      q n
      		  −  1 )
      Für |q|<1 gilt:
      lim
      n→∞
      		 
      q n
      		  =  0   ⇒   Nullfolge   und   q  −  1  <  0
      Daraus folgt:
      lim
      n→∞
      		 
      s n
      		  = 
      lim
      n→∞
      		 
      a
      q  −  1
      		 · 
      (
      q n
      		  −  1 )
      		 =   −  
      a
      q  −  1
      		 = 
      a
      1  −  q
      q.e.d.

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