1. Beispiel: Stammfunktionen bestimmen
    Geben Sie für die folgenden Funktionen jeweils drei Stammfunktionen an!
    ( a )
    		  f
    ( x )
    		 =  0
    ( b )
    		  f
    ( x )
    		 =  4x  +  2
    ( c )
    		  f
    ( x )
    		 = 
    4x 3
    		  + 
    12x 2
    		  −  6x
    ( d )
    		  f
    ( x )
    		 = 
    1
    x 2
    ( e )
    		  f
    ( x )
    		 =  n  · 
    x
    n  −  1
    ( f )
    		  f
    ( x )
    		 = 
    √
    x 2
    3
    Lösung:
    Zur Bestimmung der gesuchten Stammfunktionen muss zunächst das unbestimmte Integral berechnet werden. Die dort auftretende Intregrationskonstante muss danach festgelegt.
    (a)
    ∫
    0
    		  dx  =  C
    F 1
    ( x )
    		 =  5
    F 2
    ( x )
    		 =   −  6
    F 3
    ( x )
    		 = 
    1
    2
    (b)
    ∫
    4x  +  2
    		  dx  = 
    2x 2
    		  +  2x  +  C
    F 1
    ( x )
    		 = 
    2x 2
    		  +  2x  +  3
    F 2
    ( x )
    		 = 
    2x 2
    		  +  2x  −  12
    F 3
    ( x )
    		 = 
    2x 2
    		  +  2x  − 
    3
    2
    (c)
    ∫
    4x 3
    		  + 
    12x 2
    		  −  6x
    		  dx  = 
    x 4
    		  + 
    4x 3
    		  − 
    3x 2
    		  +  C
    F 1
    ( x )
    		 = 
    x 4
    		  + 
    3x 3
    		  − 
    3x 2
    		  −  8,1
    F 2
    ( x )
    		 = 
    x 4
    		  + 
    3x 3
    		  − 
    3x 2
    		  + 
    3
    4
    F 3
    ( x )
    		 = 
    x 4
    		  + 
    3x 3
    		  − 
    3x 2
    (d)
    ∫
    1
    x 2
    		  dx  = 
    ∫
    x
     −  2
    		  dx  =   − 
    x
     −  1
    		 +  C  =   − 
    1
    x
    		  +  C
    F 1
    ( x )
    		 =   − 
    1
    x
    		  +  25
    F 2
    ( x )
    		 = 
    1
    x
    		  −  3,2
    F 3
    ( x )
    		 =   − 
    1
    x
    		  + 
    √
    2
    (e)
    ∫
    n  · 
    x
    n  −  1
    		  dx  = 
    x n
    		  +  C
    F 1
    ( x )
    		 = 
    x n
    F 2
    ( x )
    		 = 
    x n
    		  −  1
    F 3
    ( x )
    		 = 
    x n
    		  + 
    n 2
    (f)
    ∫
    √
    x 2
    3
    		  dx  = 
    ∫
    x
    2
    3
    		  dx  = 
    3
    5
    		  · 
    x
    5
    3
    		 +  C  = 
    3
    5
    		  
    √
    x 5
    3
    		  +  C  = 
    3
    5
    		   x  
    √
    x 2
    3
    		  +  C
    F 1
    ( x )
    		 = 
    3
    5
    		   x  
    √
    x 2
    3
    		  +  1
    F 2
    ( x )
    		 = 
    3
    5
    		   x  
    √
    x 2
    3
    		  −  1  
    F 3
    ( x )
    		 = 
    3
    5
    		   x  
    √
    x 2
    3
    		  +  1,5
  2. Beispiele zur Berechnung der Integrationskonstanten
    Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x2 - 3x.
    1. Welche Stammfunktion F1 hat an der Stelle x0=1 den Funktionswert -2 ?
    2. Welchen Anstieg hat F1 an der Stelle x0=1?
    3. Die Tangente in P1 (-1; F(x1)) an den Graphen von F1 und die Koordinatenachsen begrenzen vollständig ein Dreieck. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt!
    Lösung:
    1. Berechnen der Stammfunktion
      F
      ( x )
      		 = 
      ∫
      x 2
      		  −  3x
      		  dx  = 
      1
      3
      x 3
      		  − 
      3
      2
      x 2
      		  +  C
      Bestimmen der Integrationskonstanten durch Einsetzen der Koordinaten x = 1 und y = -2
      F(x) =
      1
      3
      x 3
      		  − 
      3
      2
      x 2
      		  +  C
      		 
      -2 =
      1
      3
      		 · 
      1 3
      		  − 
      3
      2
      		 · 
      1 2
      		  +  C
      		 
      -2 =
       − 
      7
      6
      		  +  C
      |  + 
      7
      6
      C =
       − 
      5
      6
      F 1
      		  = 
      1
      3
      x 3
      		  − 
      3
      2
      x 2
      		  − 
      5
      6
    2. Bei der Berechnung des Anstiegs gilt m = F'(X) = f(x).
      f
      ( 1 )
      		 = 
      1 2
      		  −  3  ·  1  =   −  2
      → m = -2
    3. Punkt P1 berechnen
      F 1
      (  −  1 )
      		 = 
      1
      3
      		 · 
      (  −  1 )
      		3
      		  − 
      3
      2
      		 · 
      (  −  1 )
      		2
      		  − 
      5
      6
      		  =   − 
      8
      3
      P 1
      		  
      (  −  1;  − 
      8
      3
      		 )
      Anstieg an der Stelle x = -1 berechnen (analog zur Aufgabe b)
      f
      (  −  1 )
      		 = 
      (  −  1 )
      		2
      		  −  3  · 
      (  −  1 )
      		 =  4
      m = 4

      Tangentengleichung y=mx+n bestimmen
       − 
      8
      3
      		=
      4  · 
      (  −  1 )
      		 +  n
      		| +4
      n =
      4
      3
      y  =  4x  + 
      4
      3
      Nullstelle der Tangente bestimmen
      0 =
      4x  + 
      4
      3
      |  − 
      4
      3
       − 
      4
      3
      		= 4x | :4
      x 0
      		  =   − 
      1
      3
      Flächeninhalt berechnen
      A  = 
      a  ·  b
      2
      A  = 
      2
      9
      		   FE
      		Tangente
  3. Zusammenhang zwischen F(x) und f(x)
    Für genau einen Wert von a ist F eine Stammfunktion von f. Ermitteln Sie jeweils diesen Wert a.
    ( a )
    		  F
    ( X )
    		 = 
    ax 3
    		  − 
    2x 2
    		  +  3x   ⇒   f
    ( x )
    		 = 
    ( x  −  2 )
    		2
    		  −  1
    ( b )
    		  F
    ( X )
    		 = 
    1
    x
    		  − 
    6
    x 2
    		   ⇒   f
    ( x )
    		 = 
    12  +  ax
    x 3
    Lösung:
    Zur Lösung dieser Aufgabe müssen wir der Definition des Begriffs Stammfunktion erinnern. Es geht nämlich nicht darum, f(x) zu integrieren; der Nachweis wird geführt, indem man F(x) ableitet. Meist handelt es sich in solchen Aufgabenstellungen auch um Funktionen, die sich nur schwer integrieren lassen.
    Hier kommt noch ein weiterer Schritt dazu. Um den Parameter a zu bestimmen, muss F´(x) mit f(x) gleichgesetzt werden.
    1. F´
      ( x )
      		 = 
      3ax 2
      		  −  4x  +  3

      F´(x) = f(x)  
      3ax 2
      		  −  4x  +  3
      		=
      ( x  −  2 )
      		2
      		  −  1
      		rechte Seite ausmultiplizieren und zusammenfassen
      3ax 2
      		  −  4x  +  3
      		=
      x 2
      		  −  4x  +  3
      		Koeffizientenvergleich
      3a = 1
      a =
      1
      3
    2.  
      F
      ( x )
      		 = 
      1
      x
      		  − 
      6
      x 2
      		  = 
      x
       −  1
      		 − 
      6x
       −  2
      F´
      ( x )
      		 =   − 
      x
       −  2
      		 + 
      12x
       −  3
      		 =   − 
      1
      x 2
      		  + 
      12
      x 3

      F´(x) = f(x)  
       − 
      1
      x 2
      		  + 
      12
      x 3
      		=
      12  +  ax
      x 3
      		Hauptnenner des linken Terms ist x2
       −  x  +  12
      x 3
      		=
      12  +  ax
      x 3
      		Koeffizientenvergleich
      a = -1
  4. nicht-rationale Funktionen
    Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale
    ( a )
    		 
    ∫
    (
    1
    2
    		  − 
    3e x
    		 )
    		  dx
    ( b )
    		 
    ∫
    ( x  −  2sinx  + 
    1
    2
    		   cosx )
    		  dx
    Lösung
    F
    ( x )
    		 = 
    ∫
    (
    1
    2
    		  − 
    3e x
    		 )
    		  dx  = 
    1
    2
    		x  − 
    3e x
    		  +  C
    F
    ( x )
    		 = 
    ∫
    ( x  −  2sinx  + 
    1
    2
    		   cosx )
    		  dx  = 
    1
    2
    x 2
    		  +  2cosx  + 
    1
    2
    		   sinx  +  C
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