1. Beispielaufgabe: Partielle Integration
    Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von f(x), die durch die Nullstelle von f(x) verläuft.
    f
    ( x )
     =  x  · 
    ln   x
    Lösung:
    Da sich die Funktionsgleichung als Produkt zweier Funktionen u und v darstellt, wird zur Bestimmung der Stammfunktion partiell integriert. Dazu wird zunächst festgelegt:
    u
    ( x )
     = 
    ln   x
    v´
    ( x )
     =  x
    u´
    ( x )
     = 
    1
    x
    v
    ( x )
     = 
    1
    2
     
    x 2
     
    Die ln-Funktion kann wesentlich leichter abgeleitet werden als integriert. Deshalb macht eine andere Festlegung wenig Sinn.
    ( x  · 
    ln   x
    )
      dx  = 
    1
    2
     
    x 2
     · 
    ln   x
      
    (
    1
    x
     · 
    1
    2
     
    x 2
    )
      dx
    Durch Kürzen vereinfacht sich das zweite Integral weiter.
    (
    1
    x
     · 
    1
    2
     
    x 2
    )
      dx  = 
    1
    2
    x
      dx  = 
    1
    4
     
    x 2
    F
    ( x )
     = 
    1
    2
     
    x 2
     · 
    ln   x
      
    1
    4
     
    x 2
     +  C  = 
    1
    2
     
    x 2
    (
    ln   x
      
    1
    2
    )
     +  C
    Nun muss die Nullstelle von f berechnet werden.
    x  · 
    ln   x
    = 0
    x 1
     =  0
    Diese Lösung entfällt, da ln 0 nicht definiert ist.
    x 2
     =  1
    folgt aus ln x = 0
    N (1; 0)
    Setzt man die Koordinaten von N in F(x), kann man C berechnen und erhält als Ergebnis:
    F
    ( x )
     = 
    1
    2
     
    x 2
    (
    ln   x
      
    1
    2
    )
     + 
    1
    4
  2. Beispielaufgabe: Integration durch Substitution
    Gegeben ist die Funktion
    f
    ( x )
     = 
    2x
    x 2
     +  1
    Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F, die durch den Punkt (0; -2) verläuft.
    Lösung:
    Die Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, die man zwar auch als Produkt in der Form
    f
    ( x )
     =  2x  · 
    1
    x 2
     +  1
    schreiben kann. Jedoch kann der zweite Faktor weder ohne weiteres integriert noch differenziert werden. Deshalb soll versucht werden, durch Substitution die Stammfunktion zu bestimmen. Um eine Vereinfachung zu erreichen, wird wie folgt substituiert:
     
    z
    ( x )
     = 
    x 2
     +  1
    Daraus folgt:
    z´
    ( x )
     = 
    dz
    dx
     =  2x
    umgestellt
    dx  = 
    dz
    2x
    Durch die Substitution ergibt sich
    2x
    x 2
     +  1
      dx  = 
    2x
    z
     
    dz
    2x
     = 
    1
    z
      dz
    Aus den Grundintegralen folgt
    1
    z
      dz  = 
    ln   z
    Nun wird die Substitution rückgängig gemacht.
    F
    ( x )
     = 
    ln
    (
    x 2
     +  1 )
     +  C
    Um die gesuchte Stammfunktion zu bestimmen, müssen noch die Koordinaten des gegebenen Punktes eingesetzt und C berechnet werden.
    -2 =
    ln  
    (
    0 2
     +  1 )
     +  C
    -2 =
    ln   1
     +  C
    -2 = 0 + C
    F
    ( x )
     = 
    ln
    (
    x 2
     +  1 )
       2
  3. Beispielaufgabe: Integration durch Partialbruchzerlegung
    Bestimmen Sie die Menge aller Stammfunktionen der Funktion
    f
    ( x )
     = 
    x  +  1
    x 2
       4
    Lösung:
    Bevor das unbestimmte Integral gelöst werden kann, muss zunächst die Form durch Partialbruchzerlegung in die entsprechende Form gebracht werden. Dazu benötigen wir zuerst die Nullstellen der Nennerfunktion.
    x 2
       4  =  0
      Daraus ergibt sich folgende Gleichung, die auf der rechten Seite entsprechend zusammengefasst wird.
    x  +  1
    x 2
       4
     = 
    A
    x    2
     + 
    B
    x  +  2
    x  +  1
    x 2
       4
     = 
    A  · 
    ( x  +  2 )
     +  B  · 
    ( x    2 )
    ( x    2 )
     · 
    ( x  +  2 )
    x  +  1
    x 2
       4
     = 
    Ax  +  2A  +  Bx    2B
    x 2
       4
    x  +  1
    x 2
       4
     = 
    ( A  +  B )
     ·  x  + 
    ( 2A    2B )
    x 2
       4
      Durch einen Koeffizientenvergleich in der Zählerfunktion erhält man das folgende Gleichungssystem.
    A + B = 1
    2A - 2B = 1
    Löst man dieses Gleichungssytem ergeben sich folgende Werte
    A  = 
    3
    4
    B  = 
    1
    4
    x 1
     =  2
    x 2
     =     2
    Damit ergibt sich folgendes unbestimmtes Integral:
    x  +  1
    x 2
       4
      dx
    =
    3
    4
     · 
    1
    x    2
      dx  + 
    1
    4
     · 
    1
    x  +  2
      dx
    =
    3
    4
     
    ln  
    1
    x    2
     + 
    1
    4
     
    ln  
    1
    x  +  2
     +  C
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