Die Regeln zum Rechnen mit dem Skalarprodukt werden wir etwas ausführlicher betrachten und
ausnahmweise auch mal beweisen. Ich werde danach an Beispielen auch zeigen, was mit dem Skalarprodukt nicht geht.
⇒ Satz Skalarprodukt
Für |
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n |
− |
dimensionale |
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Vektoren |
|
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, |
|
|
, |
|
|
|
|
und |
|
alle |
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reellen |
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Zahlen |
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r, |
|
s |
|
gilt |
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Um den ersten Satz zu beweisen, nutzen wir das
Kommuntativgesetz der Multiplikation reeller Zahlen. Daraus folgt:
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• |
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= |
|
· |
|
+ |
|
· |
|
+ |
|
· |
|
= |
|
· |
|
+ |
|
· |
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
• |
|
|
Bei zweiten Satz verwenden wir das
Distributivgesetz der reellen Zahlen.
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|
• |
|
|
= |
|
|
• |
|
|
|
|
⇒ |
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Addtion |
|
der |
|
Vektoren |
|
|
|
und |
|
|
= |
|
|
· |
|
+ |
|
· |
|
+ |
|
· |
|
|
⇒ |
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Berechnung |
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des |
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Skalarprodukts |
= |
|
|
· |
|
+ |
|
· |
|
+ |
|
· |
|
+ |
|
· |
|
+ |
|
· |
|
+ |
|
· |
|
|
⇒ |
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Ausmultiplizieren |
= |
|
+ |
|
|
⇒ |
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Ordnen |
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mit |
|
dem |
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Kommutativgesetz |
|
der |
|
Addition |
Kommen wir zum letzten Beweis. Auch werden wir eigentlich nur Rechengesetze anwenden, die vom Rechnen mit
reellen Zahlen bekannt sind.
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• |
|
|
= |
|
|
• |
|
|
|
⇒ |
|
s |
− |
Multiplikation
|
= |
|
r |
· |
|
· |
s |
· |
|
+ |
r |
· |
|
· |
s |
· |
|
+ |
r |
· |
|
· |
s |
· |
|
|
⇒ |
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Skalarprodukt |
= |
|
· |
|
· |
|
+ |
|
· |
|
· |
|
+ |
|
· |
|
· |
|
|
⇒ |
|
Kommuntativgesetz |
|
der |
|
Multiplikation |
Nachdem wir nun die Gesetze für das Skalarprodukt bewiesen haben, noch ein paar Bemerkungen zu den
Rechenoperationen, die nicht durchgeführt werden können. So gilt zwar das Kommutativgesetz, das
Assoziativgesetz kann auf das Skalarprodukt jedoch nicht angewendet werden. Das bedeutet, dass stets nur zwei
Vektoren skalar multipliziert werden können. Das folgende Beispiel soll als Begründung ausreichen.
Wir berechnen folgenden Term
= |
( |
2 |
· |
|
+ |
1 |
· |
2 |
+ |
3 |
· |
5 |
+ |
4 |
· |
0 |
) |
|
· |
|
Da das erste Skalarprodukt eine reelle Zahl ergibt, kann der dritte Vektor lediglich noch vervielfacht werden
Wir erhalten als Ergebnis also einen Vektor und keine Zahl, wie beim Skalarprodukt.
Nun berechnen wir noch den folgenden Term:
Vergleicht man die beiden Ergebnisse, so folgt:
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