1. Binomische Formeln

    Mit Hilfe der binomischen Formeln werden Potenzen bzw. Produkte von Termen in Summen umgewandelt.

    Binomische Formel Beispiel
    ( a  +  b )
    		2
    		  = 
    a 2
    		  +  2ab  + 
    b 2
    ( 5x  +  2,5 )
    		2
    		  = 
    ( 5x )
    		2
    		  +  2  ·  5x  ·  2,5  + 
    2,5 2
    		  = 
    25x 2
    		  +  25x  +  6,25
    ( a  −  b )
    		2
    		  = 
    a 2
    		  −  2ab  + 
    b 2
    (
    m 2
    		  −  0,1n )
    		2
    		  = 
    (
    m 2
    		 )
    		2
    		  −  2  · 
    m 2
    		  ·  0,1n  + 
    ( 0,1n )
    		2
    		  = 
    m 4
    		  − 
    0,2m 2
    		   n  + 
    0,01n 2
    ( a  +  b )
    ( a  −  b )
    		 = 
    a 2
    		  − 
    b 2
    ( 4  −  2y )
    		 · 
    ( 4  +  2y )
    		 = 
    4 2
    		  − 
    ( 2y )
    		2
    		  =  16  − 
    4y 2
    Übungsaufgaben
    Schwierigkeitsgrad Aufgaben Lösungen Ergebnis
    leicht
    mittel
    schwer
    		Geben Sie die Lösungen ein.
  2. Umkehrung der binomischen Formeln

    Nun sollen Summen in Potenzen (oder Produkte) in Form der binomischen Formeln umgeformt werden.

    Binomische Formel Beispiel
    a 2
    		  +  2ab  + 
    b 2
    		  = 
    ( a  +  b )
    		2
    49s 2
    		  + 
    28r 2
    		   s  + 
    4r 4
    =
    ( 7s )
    		2
    		  +  2  ·  7s  · 
    r 2
    		  + 
    (
    2r 2
    		 )
    		2
    =
    ( 7s  + 
    2r 2
    		 )
    		2
     
    a 2
    		  +  2ab  + 
    b 2
    =  
    ( a  +  b )
    		2
    a 2
    		  −  2ab  + 
    b 2
    		  = 
    ( a  −  b )
    		2
    144x 2
    		  −  12x  + 
    1
    4
    =
    ( 12x )
    		2
    		  −  2  ·  12x  · 
    1
    2
    		  + 
    (
    1
    2
    		 )
    		2
    =
    ( 12x  − 
    1
    2
    		 )
    		2
     
    a 2
    		  −  2ab  + 
    b 2
    =  
    ( a  −  b )
    		2
    a 2
    		  − 
    b 2
    		  = 
    ( a  +  b )
    ( a  −  b )
    1
    25
    		  − 
    x 8
    =
    (
    1
    5
    		 )
    		2
    		  − 
    (
    x 4
    		 )
    		2
    =
    (
    1
    5
    		  + 
    x 4
    		 )
    		 · 
    (
    1
    5
    		  − 
    x 4
    		 )
     
    a 2
    		  − 
    b 2
    =  
    ( a  +  b )
    		 · 
    ( a  −  b )

    Summen, die sich in binomischen Formeln umwandeln lassen, werden als vollständige Binome bezeichnet. Es können jedoch nicht alle Summen auf diese Weise umgeformt werden.

    Übungsaufgaben
    Schwierigkeitsgrad Aufgaben Lösungen Ergebnis
    mittel
    schwer
    		Geben Sie die Lösungen ein.
  3. Quadratische Ergäzung
    Eine sehr wichtige Anwendung der binomischen Formel bei der Umformung von Funktionsgleichungen ist die quadratische Ergänzung. Dabei geht es darum eine Summe so zu ergänzen, dass ein vollständiges Binom ensteht. Diese Möglichkeit kann für die erste und zweite binomsche Formel verwendet werden. Die quadratische Ergänzung verwendet man zum Beispiel, um Funktionsgleichungen von quadratischen Funktionen aus der Normalform in die Scheitelpunktform umzuwandeln. Ebenso spielt sie bei der Behandlung der Kreisgleichung in der analytischen Geometrie eine wichtige Rolle.
    Summe quadratische Ergäzung Binom
    allgemeiner Fall
    a 2
    		  +  2ab
    		a2 + 2ab + b2 - b2
    (a2 + 2ab + b2) - b2 =
    ( a  +  b )
    		2
    		  − 
    b 2
    Beispiel
    36x 2
    		  +  12xy
    		(6x)2 + 2⋅6x⋅y = (6x)2 + 2⋅6x⋅y + y2 - y2
    [(6x)2 + 2⋅6x⋅y + y2] - y2=
    ( 6x  +  y )
    		2
    		  − 
    y 2
    allgemeiner Fall
    a 2
    		  −  2ab
    		a2 - 2ab + b2 - b2
    (a2 - 2ab + b2) - b2=
    ( a  −  b )
    		2
    		  − 
    b 2
    Beispiel
    4x 4
    		  − 
    16x 2
    		   y
    		(2x2)2 - 2⋅4x2⋅y = (2x2)2 - 2⋅4x2⋅y + y2 - y2
    [(2x2)2 - 2⋅4x2⋅y + y2] - y2 =
    (
    2x 2
    		  − 
    y 2
    		 )
    		2
    		  − 
    y 2
    Übungsaufgaben
    Schwierigkeitsgrad Aufgaben Lösungen Ergebnis
    mittel
    schwer
    		Geben Sie die Lösungen ein.