Auf dieser Seite werden die Umformungsregeln zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen wiederholend zusammengefasst. Dazu werden einige Beispiele gelöst und die Lösungsschritte erläutert.

  1. Lineare Gleichungen

    3[x + 4⋅(2+x)] = 2 - (2x - 8) Jeder Term wird für sich soweit wie möglich zusammengefasst.
    Dazu gehört auch das Auflösen von Klammern.
    3[x + 8 + 4x] = 2 - 2x + 8
    3x + 24 + 12x = -2x + 10
    15x + 24 = -2x + 10 |+2x Jetzt wird die Gleichung geordnet, d.h. alle Glieder mit der Variablen kommen auf eine Seite der Gleichung, alle Zahlen auf die andere Seite. Dazu muss man in den meisten Fällen addieren oder subtrahieren.
    17x + 24 = 10 |-24
    17x = -14 |:17 Im letzten Schritt wird die Variable isoliert. Dazu wird meist multipliziert oder dividiert.
    x =
     − 
    14
    17
    		Nach dem Ermitteln der Lösung sollte noch überprüft werden, ob die Lösung im Definitionsbereich der Gleichung liegt


  2. Lineare Bruchgleichungen

    x
    x  −  1
    		=
    3
    5
    		|⋅(x - 1) Das Lösen von Bruchgleichungen unterscheidet sich von normalen linearen Gleichungen nur dann, wenn die Variable im Nenner steht. Dort darf die gesuchte Größe nicht stehen! Also muss mit dem Nenner multipliziert werden.
    x =
    3
    5
    		 · 
    ( x  −  1 )
    		  Nun folgen die Schritte wie im ersten Beispiel beschrieben.
    x =
    3
    5
    		 ·  x  − 
    3
    5
    |  − 
    3
    5
    		 ·  x
    		 
    2
    5
    		 ·  x
    		=
     − 
    3
    5
    |  : 
    2
    5
    		 
    x =
     − 
    3
    2
    		 


  3. Lineare Ungleichungen

    x + 8 <
    x  −  4
    6
    |  ·  6
    		Ungleichungen werden wie Gleichungen gelöst. Es gibt nur zwei Unterschiede, auf die wir weiter unten kommen.

    Um die Brüche aufzulösen, wird hier zuerst multipliziert.
    6x + 48 < x - 4 |- 6x
    48 < -5x - 4 |+ 4
    52 < - 5x |: (-5) Multipliziert oder dividiert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl, muss das Relationszeichen umgekehrt werden.
    - 10,4 > x
    x < - 10,4 Werden die Seiten einer Ungleichung vertauscht, muss das Relationszeichen ebenfalls umgekehrt werden.


  4. Quadratische Gleichungen

    x2 + px + q = 0 Das ist die Normalform der quadratischen Gleichung, die entweder mit dem GTR (EQUA-Menü) gelöst oder durch Anwenden der allgemeinen Lösungsformel.
    x
    1;2
    		 = 
    p
    2
    		 ± 
    √
    (
    p
    2
    		)
    		2
    		  −  q
    ax2 + bx + c =0 Die allgemeine Form der quadratische Gleichungen sollte ebenfalls mti dem GTR gelöst werden. Ist das nicht möglich, kann sie in die Normalform umgewandelt werden. Dazu wird die Gleichung zuerst durch a dividiert.


  5. Gleichungen 3. Grades
    ax3 + bx2 + cx + d = 0 Gleichungen dritten Grades können noch mit dem EQUA-Menü gelöst werden. Ist das nicht möglich, bleibt rechnerisch noch die Variante eine Lösung x0 durch Probieren zu finden. Im Anschluss führt man eine Polynomdivision durch, die auf quadratische Gleichung führt.
    (ax3 + bx2 + cx + d) : (x - x0)
  6. Biquadratische Gleichungen
    4x4 - 32x2 - 192 = 0 Diese Gleichungen werden durch Substitution gelöst. Dabei ersetzt die Variable durch eine neue Variable: z = x2.
    4z2 - 32z - 192 = 0 Die so entstandene quadratische Gleichung wird zunächst gelöst wie oben beschrieben.
    z1 = 12 z2 = -4 Nun muss die Substitution wieder rückgängig gemacht werden. Es gilt: x = √z
    x
    11
    		 = 
    √
    12
    x
    12
    		 =   − 
    √
    12
    x
    21
    		 = 
    √
     −  4
    x
    22
    		 =   − 
    √
     −  4
    		Da die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert ist, entfällt in unserem Beispiel die Lösung z2.
  7. Andere Gleichungen

    Weitere Gleichungsarten, insbesondere das Lösung transzendenter Gleichungen, werden hier nicht besprochen.
    Prinzipiell lassen sich alle Gleichungen natürlich alle Gleichungen mit einem entsprechenden Taschenrechner lösen. Das kann grafisch erfolgen als Nullstellenberechnung eine entsprechenden Funktion oder numerisch mit einem Solver.