Grundkurs Mathematik Sachsen 2020 Haupttermin
Teil B - Aufgabe 1
Bild 1 Aufgabe 1 Die Abbildung zeigt das Logo eines Geschäfts für Anglerbedarf. Das Logo stellt u.a. einen Fisch dar, von dem ein Teil aus einer Wasseroberfläche herausragt. Die obere Spitze der Schwanzflosse des Fisches liegt auf der Wasseroberfläche. Die Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse steht senkrecht zur Wasseroberfläche.
In das Logo wird ein Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 Dezimeter) gelegt. Bild 1 Aufgabe 1
Die untere Begrenzungslinie des Fisches liegt auf dem Graphen der in R definierten Funktion f mit
f
( x )
 = 
1
8
  · 
x 3
Die obere Begrenzungslinie des Fisches liegt auf dem Graphen der in R definierten Funktion g mit
g
( x )
 = 
1
4
  · 
x 2
  · 
( 4  −  x )
.
Die Wasseroberfläche liegt auf der Gerade
y  = 
5
4
   .

1.1 Zeigen Sie, dass die Graphen von f und g die Punkte O(0l0) und Q(8/3|yQ) gemeinsam haben.
Geben Sie yQ an.

Erreichbare BE-Anzahl: 4

Der Operator "Zeigen Sie, dass..." verlangt einen rechnerischen Nachweis der Gültigkeit der Aussage. Hier ist folgender Ansatz notwendig.
f(x) = g(x)
1
8
  · 
x 3
=
1
4
  · 
x 2
  · 
( 4  −  x )
Die Lösung der Gleichung erfolgt mit dem GTR.
Geben Sie die Lösungen dieser Gleichung an. Verwenden Sie keine Dezimalzahlen.
x1 =
x2 =

  1.2 Weisen Sie nach, dass der Punkt Q ein Extrempunkt des Graphen von g ist. Geben Sie die Art dieses Extrempunktes an.

Erreichbare BE-Anzahl: 3

Um den geforderten Nachweis zu führen, muss die 1. Ableitung gebildet und der Wert xQ eingesetzt werden.
Welche Funktionsgleichung entspricht der 1. Ableitung g´(x)?
g´
( x )
 =  2x  − 
x 2
g´
( x )
 =  2x  − 
3
4
  
x 2
g´
( x )
 =  4x  − 
x 2

  1.3 Entscheiden Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Für jeden Wert von x mit 0<x<8/3 ist der Anstieg des Graphen von g größer als der Anstieg des Graphen von f.
Begründen Sie lhre Entscheidung.

Erreichbare BE-Anzahl: 3

Bild 1 Aufgabe 1.3 Zur Lösung des Problems betrachten wir zunächst den Verlauf der Funktionen f und g im angegebenen Intervall (s. Abbildung). So ist schon zu erkennen, dass die Aussage falsch sein muss, da die Funktion f am Ende der Intervall steiler verläuft als die Funktion g.
Zur Begründung gehen wir davon aus, dass g´(x) dem Anstieg von g entspricht und entsprechend ist f´(x) der Anstieg von f. Wenn die Aussage richtig wäre, müsste die Differenz g´(x) - f´(x) im Intervall stets größer als Null sein. Das führt zu folgender Ungleichung.
g´
( x )
 −  f´
( x )
>0

Welche Funktionsgleichung entspricht dieser Ungleichung?
 − 
1
8
  
x 3
  − 
x 2
  >  0
2x  − 
9
8
  
x 2
  >  0
2x  − 
5
8
  
x 3
  >  0

 1.4 Der Fisch soll durch ein achsenparalleles Rechteck umrahmt werden. Bestimmen Sie die Seitenlängen des kleinstmöglichen Rechtecks, welches diese Bedingungen erfüllt.

Erreichbare BE-Anzahl: 7

Aufgabe 1.4 Die nebenstehende Skizze veranschaulicht die Aufgabenstellung. Dabei kann man erkennen, dass das beschriebene Rechteck durch die Punkte Q und F begrenzt wird. Für die lange, in x-Richtung zeigende Rechteckseite a erhalten wir
a  = 
x Q
  − 
x F
Die kurze Rechteckseite b ergibt sich aus
b  = 
y Q
  − 
y F
Geben Sie Ihre Lösungen für die Seitenlängen a und b an. Runden Sie jeweils auf zwei Nachkommastellen.
a = dm
b = dm

  1.5 Die dunkelgrau markierte Fläche stellt den Teil des Fisches dar, der sich unter der Wasseroberfläche befindet.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Teils des Fisches.

Erreichbare BE-Anzahl: 9

Aufgabe 1.5 Zur Lösung dieser Aufgabe gibt es viele Möglichkeiten. Der von mir vorgeschlagene Lösungsweg ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt. Dabei wir die gesuchte Fläche in drei Teilflächen zerlegt. Die Berechungen werden natürlich mit dem GTR durchgeführt. Die Fläche A1 wird liegt zwischen den Funktionen g und f und wird begrenzt durch die untere Grenze xu=-1 (s. Aufgabe 1.4) und die obere Grenze xo=0.
Aufgabe 1.5 Daraus folgt:
A 1
  = 
0
∫
 −  1
g
( x )
 −  f
( x )
  ≈   0,427

Die Fläche A2 liegt ebenfalls zwischen g und f. Die untere Grenze ist xu=0. Die obere Grenze ergibt sich aus dem x-Wert, bei dem g die Wasseroberfläche (gestrichelte Linie) erreicht hat. Den Wert kann man ebenfalls mit dem GTR ermitteln.
5
4
  = 
1
4
  
x 2
  · 
( 4  −  x )
  ⇒  
x o
   ≈1,38

Aufgabe 1.5 Damit ergibt sich für A2:
A 2
  = 
1,38
∫
0
g
( x )
 −  f
( x )
  ≈   0,536

Die dritte Fläche A3 liegt zwischen der waagerechte Geraden y=5/4 (Wasseroberfläche) und der Funktion f. Die untere Grenze hat der Wert xu=1,38. Die obere Grenze ergibt sich aus dem x-Wert, bei dem f die Wasseroberfläche. Den Wert kann man ebenfalls mit dem GTR ermitteln.
5
4
  = 
1
8
  
x 3
   ⇒  
x o
   ≈2,15

Aufgabe 1.5 Damit ergibt sich für A3:
A 3
  = 
2,15
∫
1,38
5
4
  −  f
( x )
  ≈   0,408
Die Gesamtfläche ergibt sich dann aus der Summe der Teilflächen.
A
ges
 = 
A 1
  + 
A 2
  + 
A 3
  
≈1,371dm 2

Der Verlauf der unteren Begrenzungslinie des Fisches soll so variiert werden, dass diese auf einem der Graphen der Funktion fk mit
f k
  
( x )
 = 
1
8
   k  · 
x 3
  
( x  ∈  R;   k  ∈  R;   k>1 )
liegt. Der gemeiname Punkt der Graphen fk und g, der die x-Koordinate 8/k+2 hat, stellt die Kopfspitze des Fisches dar.
 1.6 Zeigen Sie, dass sich für k=2 die Kopfspitze des Fisches oberhalb der Wasseroberfläche befindet.

Erreichbare BE-Anzahl: 4

Geben Sie die Gleichung der Funktion f2(x) an.
f 2
  
( x )
 = 
1
8
  
x 3
f 2
  
( x )
 = 
1
4
  
x 3
f 2
  
( x )
 = 
1
2
  
x 3

 1.7 Bestimmen Sie alle Werte von k, für welche sich die Kopfspitze des Fisches oberhalb der Wasseroberfläche befindet.

Erreichbare BE-Anzahl: 4

In dieser Aufgabe ist die Ordinate des gemeinsame Punktes von f und g von Parameter k abhängig. Bilden Sie zunächst die Funktion der Ordinate in Abhängigkeit von k. Diese Funktion muss dann größer als 5/4. Lösen die entsprechende Ungleichung.
Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Abhängigkeit des Funktionswertes des Fischkopfes vom Parameter k richtig?
f 2
  
( x )
 = 
8k
( k  +  2 )
3
f 2
  
( x )
 = 
k
( k  +  2 )
3
f 2
  
( x )
 = 
64k
( k  +  2 )
3

 1.8 Erfahrungsgemäß kauft ein Kunde mit einer Wahrscheinlichkeit von
10% Anglerbekleidung, aber kein Anglerzubehör;
13% keine Anglerbekleidung, aber Anglerzubehör;
19% weder Anglerbekleidung noch Anglerzubehör.
Ein Kunde wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die Ereignisse E1 und E2:
E1: Der Kunde kauft Anglerbekleidung.
E2: Der Kunde kauft Anglerzubehör.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens eines der beiden betrachteten Ereignisse eintreten wird.
Untersuchen Sie, ob die Ereignisse E1 und E2, stochastisch abhängig sind.

Erreichbare BE-Anzahl: 6

Diese Aufgabe kann mit Hilfe einer Vierfeldertafel recht gut gelöst werden. Im Folgenden soll folgende Bezeichungen verwendet werden:
B: Es wird Anglerbekleidung gekauft.
Z: Es wird Anglerzubehör gekauft. Mit den entsprechenden Gegenereignissen ergibt sich daraus die unten stehende Vierfeldertafel. Tragen Sie die gegebenen Wahrscheinlichkeiten in diese Tabelle ein.
  B
_
B
 
Z
_
Z
  1

Die Ereignisse E1 und E2 sind
stochastisch unabhängig voneinander.
stochastisch abhängig voneinander.

 1.9 Jeder zufällig ausgewählte Kunde kauft mit einer Wahrscheinlichkeit von 68 % Anglerbekleidung.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 zufällig ausgewählten Kunden mindestens 75 Anglerbekleidung kaufen werden.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 zufällig ausgewählten Kunden weniger als zu erwarten Anglerbekleidung kaufen werden.

Erreichbare BE-Anzahl: 5

Diese Aufgabe stellt eine Anwendung der Binomialverteilung dar. Dazu benötigt man die Gleichung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße.
P
( X  ≥  k )
 = 
(
n
k
 )
 · 
p k
  · 
( 1  −  p )
n  −  k
Dabei bedeuten allgemein: n die Länge der Bernouli-Kette, p die Erfolgswahrscheinlichkeit und k die Anzahl der Erfolge.
Geben Sie für die erste Berechnung die Parameter n, k und p an.
n =
k =
p =

Auch der zweite Teil der Aufgabe ist mit Hilfe der Binomialverteilung zu lösen. Die Parameter n und p bleiben unverändert. Für der Parameter k ist der Erwartungwert von X zu berechnen. Geben Sie den Erwartungswert an.

E(X) =