Grundkurs Mathematik Sachsen 2020 Haupttermin
Teil B - Aufgabe 2
ln einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-1|1|2), B(-1|5|2) und C(-4|3l3) gegeben.s

2.1 Stellen Sie das Dreieck ABC im kartesischen Koordinatensystem grafisch dar.

Erreichbare BE-Anzahl: 2

Bild 1 Aufgabe 2.1 Die Lösung der Aufgabe zeigt die nebenstehende Abbildung. Die Zeichnung wurde absichtlich per Hand angefertigt, damit die Enstehung ersichtlich wird. Zu beachten ist, dass die Einheiten der nach vorn gerichteten x-Achse um die Hälfte verkürzt werden.

  2.2 Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC in der Ebene mit der Gleichung x + 3z = 5 liegt.

Erreichbare BE-Anzahl: 3

Bild 1 Aufgabe 2.2 in der nebenstehenden Abbildung sind die gegebene Ebene sowie die Punkte A, B und C dargestellt. Daraus ergibt sich auch die Idee zur Lösung der Aufgabe. Die einfachste Art der Nachweisführung besteht in der Durchführung der Punktprobe für die Punkte A, B und C bzgl. der gegebenen Ebene E. Das ergibt folgende Rechnungen.
Punktprobe Punkt A
 −  1  +  3  ·  2  =  5   →   5  =  5   w.A.
Punktprobe Punkt B
 −  1  +  3  ·  2  =  5   →   5  =  5   w.A.
Punktprobe Punkt C
 −  4  +  3  ·  3  =  5   →   5  =  5   w.A.

Das Dreieck ABC stellt modellhaft ein ebenes Sonnensegel dar, das zwischen drei Masten gespannt ist. Der ebene Untergrund liegt in der x-y-Ebene. Eine Längeneinheit im Modell entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
  2.3 Damit Regenwasser gut abfließen kann, soll das Sonnensegel so gespannt sein, dass es einen Neigungswinkelvon mindestens 17° zum ebenen Untergrund aufweist. Untersuchen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 3

Bild 1 Aufgabe 2.2 Die nebenstehende Abbildung soll das Problem veranschaulichen. Deshalb wurde hier eine Ansicht gewählt, in der Ebene des Sonnensegels nur noch als Strecke zu sehen ist. Der blaue Vektor nE ist der Normelvektor der Ebene E, in der das Sonnensegel liegt. Der Vektor nxy ist der Normalenvektor des ebenen Untergrunds, also der x-y-Ebene. Zu erkennen ist, dass der gesuchte Winkel durch diese beiden Vektor dargestellt wird.
Wählen Sie die richtigen Vektoren aus, indem Sie den richtigen Buchstaben eingeben.
(a)
(
1
3
5
 )
(b)
(
1
1
0
 )
(c)
(
0
0
1
 )
(d)
(
1
0
3
 )
nE =
nxy =

 2.4 Auf das Sonnensegel treffen zueinander parallele Sonnenstrahlen. Der Schatten des Punktes A auf dem ebenen Untergrund besitzt die Koordinaten (-5l3l0).
Untersuchen Sie, ob die Sonnenstrahlen senkrecht auf das Sonnensegel einfallen.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schattens des Punktes C auf dem ebenen Untergrund.

Erreichbare BE-Anzahl: 5

Aufgabe 2.4 In der nebenstehende Abbildung ist der Schattenpunkt A´ eingezeichnet. Wenn die Sonnenstrahlen senkrecht auf das Sonnensegel treffen sollen, verlaufen sie parallel zum Normalenvektor nE der Ebene E. Somit sollten auch der Vektor AA´ und nE kolinear sein.
Geben Sie zunächst die Koordinaten von Vektor AA´ an.
→
AA'
  =
(
6
 −  3
3
 )
(
 −  4
2
 −  2
)
(
2
 −  1
1
 )

Für den zweiten Teil der Aufgabe sollten Sie die Gleichung einer Geraden mit Punkt C und dem Richtungsvektor AA´ bilden. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der x-y-Ebene ist der gesuchte Schattenpunkt von C.

Geben Sie die Koordinaten des Schattenpunktes C´ ein.
C´ ( | | )


  2.5 Zwischen den Punkten P(-5l3l5) und Q(0l3l4) verläuft geradlinig ein Lichtband.
Zeigen Sie, dass jeder Punkt des Lichtbandes durch die Koordinaten (-5 + 5t l 3 l 5 - t) mit t∈R, 0≤t≤1 beschrieben werden kann.
Bestimmen Sie den Wert von t so, dass der zugehörige Punkt des Lichtbandes den geringsten Abstand zum Punkt A hat.

Erreichbare BE-Anzahl: 7

Aufgabe 24 Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht die Problemstellung. Zur Lösung ist zunächst die Geradengleichung durch P und Q aufzustellen. Danach werden die Werte der Parameters t für die Punkte P und Q bestimmt.
Betrachten Sie die gegebenen Koordinaten der Punkte des Lichtbands und bilden Sie daraus die entsprechende Geradengleichung.
Welche der folgenden Parametergleichungen ist richtig?
( I )
 
g
PQ
 : 
→
x
  = 
(
5
0
1
 )
 +  t  · 
(
1
0
3
 )
( II )
 
g
PQ
 : 
→
x
  = 
(
 −  5
3
5
 )
 +  t  · 
(
5
0
 −  1
)
( III )
 
g
PQ
 : 
→
x
  = 
(
0
3
4
 )
 +  t  · 
(
 −  5
0
1
 )
( IV )
 
g
PQ
 : 
→
x
  = 
(
1
0
3
 )
 +  t  · 
(
5
0
4
 )

Um den zweiten Teil der Aufgabe zu lösen, betrachten wir einen beliebigen Punkt R der Geraden gPQ und bilden die Vektor AR. Punkt R hat den geringsten Abstand zu A, wenn Vektor AR und der Richtungsvektor der Geraden gPQ orthogonal zueinander sind. Dazu bilden wir das Skalarprodukt der beiden Vektoren und setzen es Null. Dadurch können wir den Parameter t bestimmen.

Geben Sie den Wert des Parameters t an. Runden Sie auf zwei Dezimalstellen.
t =


Sonnensegel werden entweder aus Naturfasern oder aus Kunstfasern gefertigt. 40 % der Sonnensegel werden aus Naturfasern hergestellt. Bei Sonnensegeln aus Naturfasern beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Materialfehler 2,3% Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sonnensegel keinen Materialfehler besitzt, beträgt 98%.
 2.6 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Sonnensegel aus Kunstfasern besteht und einen Materialfehler besitzt.
Ermitteln Sie den prozentualen Anteil der Sonnensegel ohne Materialfehler an allen aus Naturfasern hergestellten Sonnensegeln.

Erreichbare BE-Anzahl: 6

Aufgabe 25 Die Aufgabenstellung lässt sich gut in einem zweistufigen Baumdiagramm darstellen, wie es die nebenstehende Abbildung zeigt. Dabei bedeuten:
N: Sonnensegel aus Naturfasern
K: Sonnensegel aus Kunstfasern
F: Materialfehler
kF: kein Materialfehler
Die gegebenen Wahrscheinlichkeit sind im Diagramm bereits eingetragen. So gilt:
p
( N )
 =  0,4
p N
( F )
 =  0,023
Außerdem gilt:
P
( kF )
 =  0,98
Nun soll das Baumdiagramm schrittweise vervollständigt werden.
Geben Sie zuerst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Sonnensegel aus Kunstfasern hergestellt wurde.
p(K) =