Es kommt relativ oft vor, dass man bei der Diskussion von Funktionen mit Beträgen zu tun hat. Und manche Sachverhalte lassen sich durch die Nutzung der Betragsstriche sogar einfacher darstellen. Aber leider denken viele Schüler, dass das Arbeiten mit Beträgen schwierig sei. Aus diesem Grund soll auf dieser Seite der Betragsbegriff noch einmal kurz wiederholt werden.

Die Definition des Betrags einer Zahl |x| ist zunächst einmal nicht schwer zu verstehen. Der Betrag ist immer positiv. Das bedeutet:

• Ist die Zahl x > 0, so gilt: |x| = x. Der Betrag ist die Zahl selbst.
• Ist die Zahl x < 0, so gilt: |x| = -x. Der Betrag ist die entgegengesetzte Zahl von x.
• Ist die Zahl x = 0, so gilt: |x| = 0. Die Zahl Null hat eben auch den Betrag Null.

Beispiele:	x	|x|	aber umgekehrt:	|x|	x
	5	5		4	x1=4
					x2=-4
	- 36	- (-36) = 36		19,1	x1=19,1
					x2=-19,1
	0	0		0	0

Aus den Beispielen folgt:
Jede reelle Zahl hat genau einen Betrag.
aber:
Zu jedem Betrag gehören immer zwei reelle Zahlen (Ausnahme: Null).
Das ist deshalb wichtig, weil dadurch Betragsgleichungen nicht mehr eindeutig lösbar sind. Aus diesem Grund werden Gleichungen und Ungleichungen, in denen die Variable in einem Betrag vorkommt, mit Hilfe von Fallunterscheidungen gelöst.
Das soll an einem Beispiel demonstriert werden.

|x - 8|

=

5

1. Fall
|x - 8| > 0			In diesem Fall werden die Betragsstriche einfach weggelassen oder durch Klammern ersetzt.
x - 8	=	5	| +8
x1	=	13
2. Fall
|x - 8| < 0			In diesem Fall ersetzt man die Betragsstriche durch Klammern, vor denen ein Minus steht muss.
-(x - 8)	=	5	| ⋅(-1)
x - 8	=	-5	| +8
x2	=	3
L = {13; 3}

Das Lösen von Betragsungleichungen erfolgt analog.

• Zurück
• Home